淮北市2015届高三第一次模拟考试

数学试题 （理科） 2015.1.24

考生注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

3．考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。

第I卷 (选择题 共50分)

一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）

1.已知
为虚数单位，且
，则
的值为（ ）。

A．4 B．
C．
D．

2.已知
，则
是
的（ ）。

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ）

A.
B.
C. 1 D.

4. 等差数列
有两项
和
，满足
，则该数列前
项之和为 ( )

A.
B
C
D

5.下列命题正确的是（ ）

A.函数
在区间
内单调递增

B.函数
的最小正周期为

C.函数
的图像是关于点
成中心对称的图形

D.函数
的图像是关于直线
成轴对称的图形

6.已知实数x，y满足
设
，若
的最大值为6，则
的最小值为（ ）

A．—3 B．—2 C．—1 D．0

7. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ）

A．34种 B．48种 C．96种 D．144种

8. 若函数
的导函数是
，则函数
(0

A、
，
B、
C、
D、

9. 若对任意
，不等式
恒成立，则一定有（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
的外接圆的圆心为
,满足：
,
，且
，
,则
( )

A. 36 B. 24 C. 24
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值

为 　　

12. 在
的二项展开式中，
的系数为

13．已知
，则有
，且当
时等号成立，利用此结论，可求函数
，
的最小值为

14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是 。

15. 称离心率为
的双曲线
为黄金双曲线．如图是双曲线

的图象，给出以下几个说法：

①双曲线
是黄金双曲线；

②若
，则该双曲线是黄金双曲线；

③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），

B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双

曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为

三、解答题（共75分，请写出详细解答过程）

16. （本题满分12分） 已知函数
=sin（2x+
）+ cos 2x．

（1）求函数
的单调递增区间。

（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=
，a=2，B=
，求△ABC的面积．

17.（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；

(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．

18. （本题满分12分）

近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；

（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；

（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布列及期望．

19. （本题满分12分）已知椭圆C：
(a>b>0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在
轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.

20. （本题满分13分）

已知数列
满足
.

（1）若
，求证：数列
是等比数列并求其通项公式；

（2）求数列
的通项公式；

（3）求证：
+
+…+

.

21. （本题满分14分）已知函数
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若
，使
成立，求实数a的取值范围.

答案：

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

B

C

C

A

C

B

B

A



二、填空题：

11、4 12、
13、
14、
15、①②③④

三、解答题：

16、（1）解：

=

=
=

=
…………………………3分

令

，

的单调递增区间为：
…………………………6分

（2）由
，

又

因此
，解得：
…………………………8分

由正弦定理
，得
，

又由
可得：
…………………………10分

故
…………………………12分

17. (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，

所以OE∥PA.

因为PA
平面PAC，OE?平面PAC，

所以OE∥平面PAC.

因为OM∥AC，

又AC
平面PAC，OM?平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因为OE
平面MOE，OM
平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC. …………………………4分

(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因为PA⊥平面ABC，BC
平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AC
平面PAC，PA
平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC
平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. …………………………9分

(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos30°＝，AC＝1.

延长MO交CB于点D.

因为OM∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M(，，0)．

所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．

设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

因为
即

令z＝1，则x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，，1)．

所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝. …………………………12分

18. 解：(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A

………………………………3分

(2)记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”

为事件B，
………………………………7分

(3)
的可能值为0,1,2,3

………………10分

其分布列为：

0

1

2

3



P












………………12分

19. 解：(1)因为椭圆过点P(，),所以=1,解得a2=2,

又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2(F2P,即((=(1, b2=c(4(3c).……6分

而b2=a2(c2=2(c2,所以c2(2c+1=0,解得c2=1,

故椭圆C的方程是+y2=1. ………………………4分

(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得

(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.

因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以

△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，

即 1+2k2=p2. …………………………………7分

设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则

 ( ==1,

即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).

由(*)恒成立,得解得,或,

而(**)不恒成立. …………………………10分

②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=(时，

定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1(( d2=(－1)(+1)=1.

综上,存在两个定点(1,0),((1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ……………12分

20. 解：（1）

又

所以
是首项为
，公比为4的等比数列，且
……………5分

（2）由（Ⅰ）可知
，……………………7分

………………8分

所以
，或
………………9分

（3） ∴

…………………………………11分

当n＝2k时，

当n＝2k－1时，

<
<3

∴＋＋…＋＜3．…………13分

21. 解：由已知函数
的定义域均为
,且
. ……1分

（1）函数
,

当
且
时,
;当
时,
.

所以函数