安徽省2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第且卷（非选择题）两部分。全卷满分150 分，考试时间为120 分钟。考生注意事项

1．答题前，考生先将自己的姓名、考场座位号及姓名在答题卡条形码处填写清楚。

2．选择题部分必须使用ZB 铅笔填涂；非选择题部分必须使用。．5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共50 分）

一、选择题（本大题共10 小题．每小题5 分，共50 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z 满足方程z=（z－2 ）i（i为虚数单位），则z=（ ）

A．1 +i B．1－i C．-1 + i D．-1－i

2．设a , b
R ，则“a > b , ，是“a|a|> b|b| ”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．某程序框图如图所示，若输出的S 一57 ，则判断框内为（ ）

A．k>4 ?

B．k>5 ?

C．k>6 ?

D．k>7 ?

4．若某几何体的二视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．30

B．12

C．24

D．4

5．若实数x , y 满足
则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．如果直线
将圆：
平分，且不通过第四象限，那么
的斜率的取值范围是（ ）

A．[0，2] B．[0，1] C．[0，
] D．

7．在△ ABC中，若
依次成等差数列，则（ ）

A．a , b ，c依次成等差数列 B．
依次成等比数列

C．
依次成等差数列 D．
依次成等比数列

8．已知函数f （x）=sinx，0＜x1＜x2＜
，则下列四个命题中正确的是（ ）

①
； ②
;

③
； ④

A．① ② ③ B．① ③ ④ C．② ④ D．② ③ ④

9．已知F为抛物线y2=2px （p > 0 ）的焦点，过F 的直线l交抛物线于A（x1, y1） , B （x2, y2）, O为坐标原点，若△OAB 的面积为p2，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4 , 5 , 6 的直线．给出下列三个结论：

①
（i=1 , 2 , 3 ），使得△ A1A2A3 是直角三角形；

②
（i=1 , 2 , 3 ），使得△A1A2A3是等边三角形；

③ 三条直线上存在四点
（i=1 , 2 , 3 ） ，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A．① B．① ② C．① ③ D．② ③

第Ⅱ卷（非选择题共100 分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11．极坐标系中，A , B 分别是直线
和圆
上的动点，则A , B 两点之间距离的最小值是 ．

12．已知（1+x）（2－x）10＝b0+bl（x－1）+ b2（x－l ）2+…+b11（x－l ）11，则b1+b2+…+b11=

.

13．已知平面向量a =（2 , 1 ）, b =（3 , k ），若（2a－b ）⊥b ，则实数k = _ ．

14．如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色（斗种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 种．

15．已知函数
，其中
是常数．给下列五个命题：

① 存在
，使函数f （ x ）是奇函数；② 存在
，使函数f （ x ）是偶函数；③ 函数f （ x ）的最大值为3 ; ④ 记f （x），的最小值为g(
)，则g (
)的最大值为一1；⑤ 若
，则x=
是函数f（ x ）图象的一条对称轴．

其中正确的命题的序号为 （把所有正确命题的的序号都填上）．

三、解答题（本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16 ．（本小题满分12 分）

已知
是关于二的方程
的两个根．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值。

17 . （本小题满分12 分）

已知矩形ABCD 中，AB =2 , AD = 5 , E , F 分别在AD , BC 上．且AE =l , BF=3 ，沿EF 将四边形AEFB\ 折成四边形A ' EFB’，使点B’在平面CDEF上的射影H 在直线OE 上．

（Ⅰ）求证：A’ D∥平面B ' FC ;

（Ⅱ）求二面角A’一D E一F 的大小．

18 . （本小题满分13 分）

设满足以下两个条件的有穷数列al , a2 , a3 ，… ，an为n ( n =2 , 3 , 4 ……）阶“期待数列”:

① al+ a2 + a3 +… +an=0,②
.

（Ⅰ）若等比数列
为
阶“期待数列”，求公比q ;

（Ⅱ）若一个等差数列
既是
阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．

19．（本小题满分12分）

设椭圆景
的左、右顶点分另。为A ,Ｂ，点Ｐ在椭圆上且异于A , Ｂ两点，O 为坐标原点．

（Ⅰ）若Ｐ为椭圆上的顶点，且直线AＰ与BＰ的斜率之积为一
，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k 满足

20 . （本小题满分13 分）

由数字1 , 2 , 3 , 4 组成五位数
，从中任取一个．

（Ⅰ）求取出的数满足条件：“对任意的正整数j (
) ，至少存在另一个正整数
且
，使得
”的概率；

（Ⅱ）记
为组成该数的相同数字的个数的最大值，求
的概率分布列和数学期望．

21 . （本小题满分13 分）

设函数
．且
曲线
在点
处的切线的斜为0 .

（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）若
，求
的最小值．

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