银川一中2015届高三年级第六次月考

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．命题“
x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是

A．
x∈Z，使x2+2x+m>0 B．不存在x∈Z，使x2+2x+m>0

C．对
x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对
x∈Z使x2+2x+m>0

2．已知集合
，则CR(A∩B)=

A.
B.
。

C.
D.

3．若复数
，则
=

A.9+i B．9- i C．2+i D.2-i

4．已知直线
，直线
，给出下列命题：

①
∥
； ②
∥m；

③
∥
； ④
∥

其中正确命题的序号是

A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④

5．若函数
的图像向右平移
个单位后与原函数的图像关于
轴对称，则
的最小正值是

A．
B．1 C．2 D．3

6．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是

A．1 2 B．24 C．36 D．48

7．若将圆
内的正弦曲线
与x轴围成的区域记为M，则在圆内随

机放一粒豆子，落入M的概率是

A．
B．
C．
D．

8．已知不等式
的解集为
，则二项式
展开式的常数项是

A．5 B．-5 C．15 。 D．25

9．等差数列
中，已知
，
，使得
的最小正整数n为

A．7 B．8 。 C．9 D．10

10．若曲线
与曲线
存在公共切线，则a的取值范围为

A.
B.
C.
D.

11．已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的右焦点，且双曲线过点
，则该双曲线的离心率是

A． B． C． D．2

12．定义域为
的偶函数
满足对任意的
，都有
，且当
时，
,若函数
在
上至少有 三个零点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知
，则
.

14. 已知实数
满足
，若
的最大值为
则

15. 已知
，若函数
的最小值为1，则
_______.

16. 如图，B，C两点在双曲线
的右支上，线段BC

的垂直平分线DA交y轴于点
，若
，

则点A到直线BC的距离d=____.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字

说明，证明过程和演算步骤.

17. (本小题满分12分)

如图所示，程序框图给出了无穷正项

数列{an}满足的条件，且当
时，输出的
是
；

当
时，输出的
是
．

（1）试求数列{an}的通项公式
；

（2）试求当k=10时，输出的T的值．（写出必要的解题

步骤）

18．(本小题满分12分)

如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视

图. 在直观图中，2BN=AE，M是ND的中点. 侧视图是直

角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，

并标上数据；

（2）求证：EM∥平面ABC；

（3）试问在边BC上是否存在点G，使GN⊥平面NED.

若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.

19．(本小题满分12分)

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对

我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得

到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作

为样本进行分析报告，样本数据分组区间为

，
，
，
，由此

得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求a的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

(3) 如果空气质量指数不超过
，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为
，求
的分布列和数学期望.

20． (本小题满分12分)

已知点G是△ABC的重心，A（0，－1），B（0，1）. 在x轴上有一点M，满足
，
（若△ABC的顶点坐标为
，则该三角形的重心坐标为
.

（1）求点C的轨迹E的方程；

（2）若斜率为k的直线l与（1）中的曲线E交于不同的两点P、Q，且
，试求斜率k的取值范围.

21．(本小题满分12分)

设函数
.

（1）若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

（2）①是否存在实数
，使得关于
的不等式
在
上恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,
为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点

和
.

（I）求证

（II）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程
为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为M .

(I)求M;

(II)当
时，证明：
.

银川一中高三第六次月考数学(理科)试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答数

D

B

A

A

D

B

B

C

D

D

A

D



13．
14. 0 15.
16.

17．解：（Ⅰ）观察框图可知，数列{an}为等差数列，设其公差为
，

又可知，
………………2分

由
得

…………4分

由题意可知，
时，

∴
，解得：

∴
………………………………………6分

（Ⅱ）由框图和（1）可得：

当
时，
…………………………8分

∴

两式相减可得：

…………………………10分

∴
…………………………12分

18．（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分

（2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°，

DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，

EA∥DC∥NB.取BC的中点F，连接FM、EM，

则FM∥DC∥EA，且FM=
（BN+DC）=2. …4分

∴FM EA，∴四边形EAFM是平行四边形，

∴AF∥EM，又AF
平面ABC，

∴EM
平面ABC.…………………………7分

（3）解，以A为原点，CA为x轴，AB为y轴，

AE为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A（0，0，0），E（0，0，2），B（0，2，0），

D（－2，0，3），N（0，2，1），C（－2，0，0）.

设
（－2，－2，2），
（0，－2，1），

（2，2，0），
（2，2，1）.

假设在BC边上存在点G满足题意，

∴边BC上存在点D，满足CG=
CB时，GN⊥平面NED.………………12分

19．（本小题满分12分）

(1) 解：由题意，得
， ……………1分

解得
. ……………2分

（2）解：
个样本中空气质量指数的平均值为

……………3分

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为
. …………4分

（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为
，则
. ………5分

的取值为
， ………6分

，
，

，
. ……………10分

∴
的分布列为：



1

2



















……11分

∴
. ………12分

（或者
）

20．（1）设C（x，y），则
.………………………………………………1分

，

………………4分

（2）①当k=0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，

根据椭圆的对称性，有
，符合题意.………………………………5分

②当

（*）

即1+3k2－m2>0. （**）……………………………………………………8分

、x2是方程（*）的两相异实根.

则PQ的中点N（x0，y0）的坐标是

即

），又
……10分

将
代入（**）式，得

综上①②，得k的取范围是（－1，1）.…………………………………………12分

21.（1）由已知得：
，且函数
在
处有极值

∴
，即
∴

∴

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；

∴函数
的最大值为

（2）①由已知得：

(i)若
，则
时，

∴
在
上为减函数，

∴
在
上恒成立；

(ii)若
，则
时，

∴
在
上为增函数，

∴
，不能使
在
上恒成立；

(iii)若
，则
时，
，

当
时，
，∴
在
上为增函数，

此时
，

∴不能使
在
上恒成立；

综上所述，
的取值范围是

②由以上得：

取
得：

令
，

则
，
.

因此
.

又

故

22. （1）∵
为圆
的切线,
又
为公共角,

. ………4分

（2）∵
为圆
的切线,
是过点
的割线,

又∵
又由（1）知
,连接
,则

，则
，
. 10分

23.【解析】.

24.

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