唐徕回民中学2015届高三上学期期末考试

数学（理）试题

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集
,
,则

A．
B．
C．
D．

2. 有如下命题：命题
:设集合
，
，则
是

的充分而不必要条件；命题
：“
”的否定是

“
”，则下列命题中为真命题的是

A．
B．
C．
D．

3. 设数列
是等差数列，若
，则
等于

A. 14 B. 21 C. 28 D. 35

4. 已知点
的坐标满足
，
，点
为坐标原点，则
的最

小值是

A. -21 B. 12 C. -6 D. 5

5. 若
，则

A．
B.
C.
D.

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

7．设
表示不同的直线，
表示不同的平面，

给出下列四个命题：

①若
∥
，且
，则
； ②若
∥
，且
∥
，则
∥
；

③若
∩

∩

∩
，则
∥
∥
；

④若
∩

∩

∩
，且
∥
，则
∥
.

其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

8．将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单

位长度，得到函数
的图象．则
图象的一条对称轴是

A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝

9. 若
均为单位向量，
，
，
，则
的最大值是

A. 2 B.
C.
D. 1

10.四棱锥
的底面是边长为2的正方形，点
均在半径为
的同一半球面上，则当四棱锥
的体积最大时，底面
的中心与顶点
之间的距离为( )

A .
B.
C.
D.

11. 现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．①④②③ B．①④③②　 C．④①②③　 D．③④②①

12．设
是定义在
上的偶函数，
，都有
，且当
时，
，若函数

在区间
内恰有三个不同零点，则实数
的取值范围是

A．
B.

C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在
中，
,
,
,则
的面积等于 .

14. 已知点
为
的外心，且
，则
.

15. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图

案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正

方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含
个小正方形．则
.

16. 已知函数
，若存在
使得函数
的值域是[0,2]，则实数
的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．(本题满分12分)

已知函数

（1）求函数
在
上的最大值和最小值，并求出对应的
值.

（2）已知
中，角
的对边分别为
.若
，
，求实数
的最小值.

18. (本题满分12分)

如图所示，在四棱锥
中，平面
平面
，
∥
,
是等边三角形，已知
,
.

（1）设
是
上的一点，求证：平面
平面
；

（2）求四棱锥
的体积.

19. (本题满分12分)

已知数列
的前
项和
（
为正整数）.

（1）证明：数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（2）令
，设数列
的前
项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数都成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

20. (本题满分12分)

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
//
，
，平面
⊥平面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（1）若点
是棱
的中点，求证：
∥平面
；

（2）若二面角
为
，试确定点
的位置.

21．（本大题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数
的最小值；

（3）若
，使
成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于
，
，连接
．

（1）求证：直线
是⊙
的切线；

（2）若
⊙
的半径为3，求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系.已知点
的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
且点
在直线
上.

（1）求
的值及直线
的直角坐标方程；

（2）设曲线
的参数方程为
（
为参数），求曲线
上的点到直线
的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．

（1）解不等式
；

（2）设
，
，试求
的最小值及相应
的值.



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