安徽省2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150 分，考试时间为120 分钟。

考生注意事项

1 ．答题前，考生先将自己的姓名、考场座位号及姓名在答题卡条形码处填写清楚。

2 ．选择题部分必须使用ZB 铅笔填涂；非选择题部分必须使用。．5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3 请按照题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4 ．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50 分）

一、选择题（本大题共10 小题。每小题5 分，共50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1 ．设i是虚数单位，
，若
是一个纯虚数，则实数a的值为

A．－
B．－1 C．
D．1

2 ．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集
，映射
A→B 把集合A 中的元素（x，y），必映射成集合B 中的元素（x＋y , x 一y），则在映射f 下，在集合A 中，与集合B 中的元素（2 , 1 ） 对应的元素是（）

A．（3，1） B．
C．
D．（1，3）

3 ．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

4 ．抛物线
的准线方程是y =2 ，则a 的值为

A．
B．－
C．8 D．－8

5．已知
=

A．
B．－
C．
D．－

6．若实数x , y 满足
则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7 ．如果直线
将圆：
平分，且不通过第四象限，那么
的斜率的取值范围是（）

A．[0，2] B．[0，1] C．[0，
] D．

8 ．设Sn是等差数列｛an｝的前n 项和，已知a2=3 , a6 =11，则S7 =（）

A ．13 B ．35 C ．49 D ．63

9 ．已知直线m , n 和平面a ，则m ∥n 的一个必要非充分条件是（）

A ．m ∥a , n ∥a B ．m ⊥a , n ⊥a

C．
D ．m，n 与a 成等角

10 ．向量
，若a · c = b · d = 1 ，则这样的向量a 有

A ．1 个 B ．2 个 C ．多于2 个 D ．不存在

第Ⅱ卷（非选择题共100 分）

二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。把答案填在答题卡的相应位置）

11．某厂家生产三种型号的零件，产量分别为120 。件，6000 件和2000 件，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46 件进行检验，这三种型号的零件依次应抽取＿, _ , ＿件。

12 ．下图是一程序框图，则其输出结果为＿

13 ．已知平面向量a = （ 2 , 1 ） , b =（3 , k ） ，若（2a 一b ）⊥b ，则实数k = _ ．

14 ．不等式
的解集为
,则a= .

15 ．已知函数
，其中
是常数．给下列五个命题：

① 存在
，使函数f （ x ）是奇函数；② 存在
，使函数f （ x ）是偶函数；③ 函数f （ x ）的最大值为3 ; ④ 记f （x），的最小值为g(
)，则g (
)的最大值为一1；⑤ 若
，则x=
是函数f（ x ）图象的一条对称轴．

其中正确的命题的序号为＿（把所有正确命题的的序号都填上）．

三、解答题（本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16 ．（本小题满分12 分）

已知
是关于二的方程
的两个根．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值。

17 ．（本小题满分12 分）

在三棱锥P一ABC 中，△ PAC 和△ PBC 是边长为
的等边三角形，AB =2 , O 是AB 中点．

（Ⅰ）在棱PA 上求一点M ，使得OM∥平面PBC ;

（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ．

18 ．（本小题满分12 分）

设｛an } , { bn ｝都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有
成等差数列，
成等比数列．

（Ⅰ）试问{ bn ｝是否为等差数列？为什么？

（Ⅱ），如果a1=1，
求数列
的前n项和Sn。

19 ．（本小题满分12 分）

某工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml 和700ml 两种型号，某天的产量如下表（单位：个）:

按样式进行分层抽样，在该天生产的杯子中抽取100 个，其中有甲样式杯子25 个．

（Ⅰ）求z 的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5 的样本，从这个样本中任取2 个杯子，求至少有1 个500ml 杯子的概率．

20 ．（本小题满分13 分）

已知函数
为奇函数，且
在
时取得极值
。

（Ⅰ）求实数m，n , k 的值；

（Ⅱ）过定点Q （ a , b ） （ a > 0 ）作曲线y =f （ x ）的切线，若这样的切线可以作出三条，求证：一a ＜b＜f （ a ） ．

21 ．（本小题满分14 分）

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点
的距离与到定直线：
的距离之比为
，设动点P 的轨迹为C ．设直线y =k x＋1 与曲线C 交于A , B 两点．

（Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）当
时，求实数k的值；

（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0 时，恒有
。

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