唐徕回民中学2015届高三上学期期末考试

数学（文）试题

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

设全集
，
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 已知直线
和平面
，则
的一个必要条件是（ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
与
成等角

4. 已知
是以1为首项的等比数列，若
，则
的值是（ ）

A．-10 B．10 C．
D．不确定

5. 已知
，
，
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 设函数
，其中
是正数，对于任意实数
，等式

恒成立，则当
时，
与
的大小关系为（ ）.

A.
B.

C.
D.

7. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

8. 已知函数
，
，

的零点分别为
，
，
，则

A．
<
<
， B.
<
<

C.
<
<
D.
<
<

9. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含
个小正方形．则
（ ）

A．61 B．62

C．85 D．86

10. 已知函数
，

则下列结论正确的是（ ）

A．若
=0，则
=
(
)

B. 函数
在区间
上是增函数

C．函数
的图像与
的图像相同

D．函数
的图像关于点
对称

11. 已知向量
,
，若
则
的最小值为（ ）

A. 2 B.
C. 6 D. 9

12．函数
，若关于
的方程
有六个不同的实数解，则实

数
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知点
在由不等式组
确定的平面区域内，则
的最大值是 ．

14．在三棱柱
中侧棱垂直于底面，
，
，
，且

三棱柱
的体积为3，则三棱柱
的外接球的表面积为 ．

15. 向量
,
在正方形网格中的位置如图所示.设向量

若
，则实数
__________.

16. 定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足

，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一

个均值点。例如
是
上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数

是
上的平均值函数，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

在△
中，角
的对边分别为
向量
=
,
=
，且
.

（1）求锐角
的大小；

（2）如果
，求△
的面积
的最大值.

18. (本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形，
,
，
,
.

（1）求证：
；

（2）求点
到平面
的距离．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为

（1）求数列
的通项公式;

（2）设

①若数列
的前n项和为
,
；

②求数列
的前n项和
.

（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，

分别是
的中点．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求证：
；

（3）求三棱锥
的体积．

21. (本小题满分12分)

已知函数
，且函数
的导函数为
，若曲线
和
都过点
，且在点
处有相同的切线
.

（1）求
的值；

（2）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，

都是⊙
的割线，
．

（1）证明：
；

（2）证明：
．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点
在曲线
上，点

，当点
在曲线
上运动时，求
中点
的轨迹

方程．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
,不等式
的解集为
.

（1）求
；

（2）当
时,证明：
.



一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．_____4__ 14．____14
____ 15．____3 16．___(0,2)___

三、解答题（共70分）

17．(10分)

（1）
，由正弦定理得
， ………………4分

. ………………………………………………6分

（2）
，
………………………………8分

(12分)

（1）证明：在等腰梯形
中，
,

,即

（2）令点
到平面
的距离为
则

，解得
（12分）

20（12分）

解析：(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG.又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.

所以三棱锥E - ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.

21（12分）

解析：（I）由已知得
，

而

故
……………………………4分

（2）令
，则

因
，则

令
得
………………………………6分

若
，则
，从而
时
；当
时
即
在
单调递减，在
单调递增，故
在
的最小值

故当