2015届高三二诊模拟数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 ，共 60 分）

选择题（每小题5分，共60分）

1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1

A 、{1，4，6，7} B、{2，3，7} C、{1，7} D、{1}

2命题“存在
R，使得

0”的否定是 （ ）

A、不存在
R, 使得
>0 B、存在
R, 使得

0

C、对任意的
R, 使得

0 D、对任意的
R, 使得
>0

3如图，网格纸的小正方形的边长是1，

在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个

多面体最长的一条棱的长为（ ）

A、2 B、  C 、 4 D 、 2

4 执行右边的程序框图，输出的T=（ ）

A、29 B、30 C、31 D、28

5 已知数列
是各项均为正数的等比数列，

若
，则
等于（ ）

A、
B、
C、
D、

6 已知平面向量
，
满足
，
，

且
，则
与
的夹角为（ ）

B．
C．
D．

7 在区间[-1，1]上随机取一个数x，
的值介于0到
之间的概率为 ( ). A.
B.
C.
D.

8曲线
在
处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是 （ ） A
B. 18 C.
D.36

10函数
的最大值为（ ）。

A、
B、
C、
D、
w

11 已知数列
是各项均为正数且公比不等于
的等比数列.对于函数
，若数列
为等差数列，则称函数
为“保比差数列函数”.现有定义在
上的如下函数：

①
， ②
， ③
， ④
，

则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）

①② B．③④ C．①②④ D．②③④

12直线
与函数
的图象恰有三个公共点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分）

填空题（每题4分，共16分）

13已知i为虚单位，则复数
的虚部为 。

14某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温x（°C）

18

13

10

－1



用电量y（度）

24

34

38

64





由表中数据得线性回归方程
中
，预测当气温为
时，用电量的度数约为

15已知
则
的最小值是

16△ABC中，它的三边分别为a,b,c,若A=120°，a=5，则b+c的最大值为

解答题

17、（12分）已知向量m＝，n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.

18、（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4

根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；

从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。

19（12分）如图，三棱柱
中，
⊥面
，
，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱
上是否存在点
，使得

？请证明你的结论.

20在等比数列{an} (n∈N*)中，a1>1，

公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；

(3)试比较an与Sn的大小.

21．（ 12分）已知椭圆
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若三角形
的面积为
，求直线
的方程．

22、（14分）已知函数
　（
为实常数）。

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在区间
上无极值，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知
且
，求证
.

2014-2015学年高三上期“二诊”模拟试题

数 学 试 题（理科）参考答案

一选择题1C 2D 3A 4B 5C 6B 7A 8D 9C 10C 11C 12A

二填空题：13 -1，14 68， 15 5， 16

三解答题：17（12分）

解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2＝sin ＋

＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.

cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.

∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C).

∵A＋B＋C＝π ∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝，

∵0

sin∈. 又∵f(x)＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.

故函数f(A)的取值范围是.

18分析：（1）重量超过505克的产品数量是
件；

（2）Y的所有可能取值为0，1，2；




















，
，
，

Y的分布列为

从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为

。

19（本小题满分12分）

（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． …………1分

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．

又D是AC的中点，∴OD//AB1．

∵AB1
面BDC1，OD
面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分

（II）解：如图，建立空间直角坐标系，

则C1（0，0，0），B（0，3，2），

C（0，3，0），A（2，3，0），

D（1，3，0）， 

，
， …………5分

设
是面BDC1的一个法向量，则

即
，取
.

易知
是面ABC的一个法向量.

.

∴二面角C1—BD—C的余弦值为
. …………8分

（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.

设P（2，y，0）（0≤y≤3），则
，

则
，即
.

解之
∴方程组无解.

∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………12分

20（12分）(1)证明　∵bn＝log2an，

∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，

∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.

(2)Sn＝　an＝25－n (n∈N*)

(3)解　显然an＝25－n>0，

当n≥9时，Sn＝≤0，

∴n≥9时，an>Sn.

∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝，

S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，

∴当n＝3,4,5,6,7,8时，an

当n＝1,2或n≥9时，an>Sn.

21（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意，
-------1分

解得
. ------------2分

即：椭圆方程为
------------3分

（Ⅱ）当直线
与
轴垂直时，
，

此时
不符合题意故舍掉； -----------4分

当直线
与
轴不垂直时，设直线
的方程为：
，

代入消去
得：
. ------------6分

设
，则
， -----------7分

所以
. ------------9分

原点到直线的
距离
，

所以三角形的面积
.

由
，

所以直线
或
. ---------12分

22解