浙江省深化课程改革协作校 2015届11月期中联考数学（理科）试题卷

命 题：瑞安中学 潘贤冲、戴海林 校 稿：仙居中学 张光明 校 对：范伟峰

本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设集合
，则
（ ▲ ）

A． B．
C．
D．

已知函数
，则“
是偶函数”是“
”的（ ▲ ）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

4．为了得到函数
的图像，只需把函数

的图像上所有的点（ ▲ ）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

5．设等差数列
的公差为
若数列
为递增数列，则（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知
为三条不同的直线，和
是两个不同的平面，且
.

下列命题中正确的是（ ▲ ）

A.若与
是异面直线，则与
都相交

B.若不垂直于，则与
一定不垂直

C.若
，则

D.若
则

7．已知
是圆

上任意的不同三点，若
，则正实数的取值范围为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

8．过双曲线
的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
.若
，则双曲线的离心率是（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

9．在四棱锥
中，底面
是菱形，
底面
，
是棱
上一点. 若
，则当
的面积为最小值时，直线
与平面
所成的角为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

10．已知非空集合
，若
，
，
，则
的关系为（ ▲ ）

A．
B．

C． D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．已知角终边经过点
，则
____▲____.

12．设
，则
____▲____.

13．已知数列
的前项和为
，若
，则数列
的通项公式为____▲____.

14．已知实数
满足约束条件
若
恒成立，则实数的取值范围为____▲____.

15．若函数
在区间
上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ _.

16．已知抛物线
过点

，
是抛物线上的点，直线
的斜率成等比数列，则直线
恒过定点____▲____.

17．已知实数
满足
，则
的取值范围是____▲____.

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分14分）在锐角
中，内角
所对的边分别为
.

已知

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
的面积的最大值.

19．（本小题满分14分）已知等差数列
的公差为
,首项为正数，将数列
的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前3项,

（Ⅰ）求数列
的通项公式
与前项和
；

（Ⅱ）是否存在三个不等正整数
,使
成等差数列且
成等比数列.

20．（本小题满分14分）在多面体
中，
，
，
平面
，

，为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的正切值的大小.

21．（本小题满分15分）若椭圆
：
，过点
作圆
：
的切线，切点分别为
直线
恰好经过椭圆的右焦点和上顶点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与圆
相切于点，且交椭圆
于点
，求证：
是钝角.

22．（本小题满分15分）设函数
，
.

（Ⅰ）若
，当
时，
恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）若不等式
在区间
上无解，试求所有的实数对

浙江省深化课程改革协作校 2015届11月期中联考 理科数学答案：

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

C

D

C

C

D

B

A





二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.
； 12. 10； 13.
； 14.

15.
或
； 16.
17.

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．解：（Ⅰ）

由条件

所以
，解得
或
……（5分）

又因为
是锐角三角形，所以
. ……（7分）

（Ⅱ）当
时，由余弦定理：
，代入可以得到：

，所以
……（10分）

所以
……（13分）

等号当且仅当
. ……（14分）

19．解：（Ⅰ）设前4项为

则
或

或
或
……（3分）

……（6分）

（Ⅱ）

……（9分）

但
……（12分）

故不存在三个不等正整数
，

使
成等差数列且
成等比数列. ……（14分）

20．证明：（Ⅰ）取
中点
，连接
.

因为是
的中点，所以
是
的中位线，

则
，所以
， ……（3分）

则四边形
是平行四边形，所以
，故
平面
. ……（6分）

（Ⅱ）过点作
垂直
的延长线于点
，

因为
平面
，所以
，则
平面
，

过
作
，垂足为
，连接
，易证
平面
，

所以
，则
是二面角
的平面角. ……（9分）

设
，则
，

在
中，
，
，所以
. ……（12分）

又因为
，所以
，则
……（14分）

21．解：（Ⅰ）由题意可知：
，
，则
， ……（3分）

所以直线
的方程是
，即
，即
. ……（5分）

所以
，即椭圆的标准方程为：
. ……（7分）

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，易证：
是钝角； ……（9分）

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，

与椭圆
联立可以得到：

则

由韦达定理：
代入上式可以得到：

……（12分）

因为直线
与圆
相切，则
，所以
……（14分）

代入上式：
，所以
是钝角. ……（15分）

22． 解：（Ⅰ）由
，即
.当
时，恒成立；……（1分）

当
时，令
，

得
； ……（3分）

同理当
时，令
，得
……（6分）

综上：有
. ……（7分）

（Ⅱ）要使
在区间
上无解，必须满足

即
；

所以
，即
，又

两式相加可以得到：
. ……（9分）

的对称轴为
，最小值为
；

因为
，则
的对称轴在区间
内，要使
在区间
上无解，

还要满足
，即
，可以得到
. ……（11分）

解不等式组：
……（13分）

可以解得：
，代入不等式组，得到
.

所以满足题意的是实数对
只有一对：
. ……（15分）