严州中学2015届高三1月份阶段测试数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、若P=
，Q=
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

2、下列选项一定正确的是 （ ）

A、若
，则
B、若
，则

C、若
，则
D、若
，则

3、 设
、
表示两条直线，
、
表示两个平面，下列命题中正确的是 ( )

A．若
B．若

C．若b//
D．若b//

4、已知函数
，
，若
，则
的取值范围为（ ）

A.
B.

C.
D.

5、已知数列
是等差数列,若
，
，且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于 （　　）

A．17 B．19 C．20 D．21

6、若
，则
是
的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7、已知点
是直线
上一动点，
是圆
：
的两条切线，
为切点，若四边形
的最小面积是2，则
的值为（ ）

A．4 B．
C．2 D．

8、已知椭圆C：＋＝1. 设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.则最小值为（ ）

A. B.  C.  D.

二、填空题：本大题共7小题，每空3分，共36分．

9、函数
（
＞-4）的值域是________

10、设
为第二象限角，若
，则

11、已知某个多面体的三视图（单位cm）如下图所示，则此多面体的体积是
.

12、

（1）设正实数
满足条件
，则
的最大值为___________

（2）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是_________

13、设数列
的前
项和为
．已知，
，
，
．

(1)
=___ _________

(2)若
，对
恒成立，则
的取值范围是_________．

14、 在△ABC中，

(1)若点P在△ABC所在平面上，且满足
，则
_________

(2) 若点G为△ABC重心, 且
，则
=____

(3)若点O为△ABC的外心，
,且
(
,
为实数)，则
的最小值是__________

15、如图，直线
平面
，垂足为
，正四面体
的棱长为4，

在平面
内，
是直线
上的动点，

(1)线段
、
两中点连线的长度是________

(2)当
到
的距离为最大时，正四面体在平面
上的射影面积为________

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本题14分）

已知a,b,c分别为
三个内角A,B,C的对边，
.

(1)求B (2) 求
的取值范围.

17、（本题15分）如图，在菱形
中，
，
是
的中点，
⊥平面
，且在矩形
中，
，
．

（1）求证：
⊥
；

（2）求二面角
的大小.

18、（本题15分）已知数列
，对任何正整数
都有：

．

（1）求数列
的通项公式；

（2）

①若
恒成立，求实数
的范围；

②若数列
满足
，求数列
的前项和
.

19、（本题15分）已知点A（0，1）、B（0，-1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线
交C于M、N两点，
的面积记为S，若对满足条件的任意直线
，不等式
的最小值.

20、（本题15分）已知函数

（1）若
，函数
在
上递增,求实数
的范围;

（2）若
，
，定义域为R的函数
，当
时，讨论关于
的方程
的根的个数.



一．填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

B

C

B

C

C



二．填空题（本大题共7小题，每空4分，满分36分．）

9.
10.
;

11.
;

12.（1） 2 ; （2） 6 ;

13．（1）__
__; （2）

14.（1） 2 ; （2） 600 （3） 2

15．（1）_____
_____; （2）

三．解答题（本大题共5个小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，书写时不要超出答题框。）

16、（本题14分）

(1)由
及正弦定理得
-------------3分

因为
,所以
，由于
,所以
,-----------------------------------------6分

-----------------------7分

（2）
---------9分

由于

----12分

又因为
所以

------------------------------14分



17、（本题15分）

解：（1）连结
，则
.

由已知
平面
，

因为
，

所以
平面
.……………………3分

又因为
平面
，

所以
.……………………6

（2）由于四边形
是菱形，
是
的中点，可得
.如图建立空间直角坐标系
，则
，
,
，

,
，
.………………………7分

设平面
的法向量为
.则

所以
……………………………………9分

令
.

所以
.………………………………………………12分

又平面
的法向量
，………………………………13分

所以
.

所以二面角
的大小是60°. ………………………………………15分





18、（本题15分）

解：（1）依题意，数列
的通项公式为
，

由
，

可得

，两式相减可得
，即
. 当
，从而对一切
，都有
. 所以数列
的通项公式是
. ——5分（未验证
扣1分）



19、（本题15分）



20、（本题15分）

解答

记函数

则

——6分

综上………………………………………15分



13.
，即
，

由此得

，
，

于是，当
时，

，

易知
时数列
的值趋近于0．

14、 在△ABC中，

. (1)若点P在△ABC所在平面内，且满足
，则
_________

(2) 若点O为△ABC重心, 且
，则
=____

60度，由正弦定理、重心性质、平面向量基本定理得56a=40b=35c，由余弦定理的B=60度。

(3)若点O为△ABC的外心，
,且
(
,
为实数)，则
的最小值是__________

解法一：以A为原点，AB为x轴正方向建系

解法二：

15、如图，直线
平面
，垂足为
，正四面体
的棱长为4，

在平面
内，
是直线
上的动点，

(1)线段
、
两中点连线的长度是________

(2)当
到
的距离为最大时，正四面体在平面
上的射影面积为________

（点O在以BC为直径的球上旋转，当O与（1）中两中点共线时距离最大=2+
，此直线在平面上的投影长为
，所以面积=
）

8.已知椭圆C：＋＝1. 设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.则最小值为（ ）

(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.

|TF|＝，

|PQ|＝

＝

＝

＝.

所以＝＝≥＝