浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟

2．整场考试不准使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集
,集合
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2. 函数的图像为 ( )

3. 设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是（ ）

A．

B．

C．

D．

4. 阅读如图所示的程序框图,若输入
,则输出的
值是（）

A．
B．
C． D．

5. 已知命题
；

命题
则下列命题中真命题是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．设不等式组
表示的平面区域为D．若圆C:
不

经过区域D上的点,则的取值范围是（　　）

A．
B．

C．
D．

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（　　）

A． B．
C．
D．

8. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量
为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则
的数学期望
为（　　）

A．
B．
C．2 D．

9. 已知函数
，函数
，若存

在
，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
=
,把函数
的零点按从小到大的顺

序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．

11．设
，在二项式
的展开式中，含的项的系数与含
的项的系数相等，则的值为 ．

12.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度

相等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为 ．

13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___

14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，

则这样的六位数共有 ___ 个．

15.平面向量，，满足
，
，
，
，则
的最小值为 ．

16.已知
，过点
作一直线与曲线
相交且仅有一个公共

点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角
或
；类比此思想，已知

，过点作一直线与函数
的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的

倾斜角为__________

17.已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①
； ②
；

③
； ④
.

其中是“垂直对点集”的序号是

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. （本题满分14分）

已知函数

在区间
上单调递增,在区间
上单调递减;

如图,四边形
中, ,
,为
的内角
的对边,且满足

.

(1)证明:

(2)若
,
,
,
,

求四边形
面积的最大值.

19. （本题满分14分）

某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%

(1)设第年该生产线的维护费用为
,求
的表达式;

(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

20. （本题满分14分）

在如图所示的几何体中,
是边长为2的正三角形,
平面
,

平面
平面
,
,且

(1)若
,求证:
平面

(2)若二面角
为60°,求
的长.

21. (本题满分15分)

已知椭圆C:
,⊙
, 点A,F分别是椭圆C的左顶

点和左焦点, 点F不是
上的点，点P是
上的动点.

(1)若
,PA是
的切线,求椭圆C的方程;

(2)是否存在这样的椭圆C,使得
恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由.

22. (本题满分15分) 设
．

（1）若
，求
最大值;

（2）已知正数，
满足
．求证：
；

（3）已知
，正数
满足
．证明:

．

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试

数学理科试卷参考答案

1-10 BCCCD CBADB

11、1 12、2/5 13、
14、120 15、5/4 16、
或
17、②④

18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:
,解得:
,

(Ⅱ)因为
,所以
,所以
为等边三角形

,

,
,

当且仅当
即
时取最大值,
的最大值为

19、（1）

（2）第10年年初

20、【答案】解: (Ⅰ)分别取
的中点
,连接
,



则
∥
,
∥
,且

因为
,
,
为
的中点,

所以
,

又因为平面
⊥平面
,

所以
平面

又
平面
,

所以
∥

所以
∥
,且
,因此四边形
为平行四边形,

所以
∥
,所以
∥
,又
平面
,
平面
,

所以
∥平面

(或者建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,计算
即证)



(Ⅱ)解法一:

过
作

的延长线于
,连接
.

因为
,
,

所以
平面
,
平面

则有
.

所以
平面
,
平面
,

所以
.

所以
为二面角
的平面角,

即

在
中,
,则
,
.

在
中,
.

设
,则
,所以
,又

在
中,
,即
=

解得
,所以

解法二:



由(Ⅰ)知
平面
,
,

建立如图所示的空间直角坐标系
.

设
,则
,
,

,
,

,
.

设平面
的法向量

则
所以

令
, 所以

又平面
的法向量

所以

解得
, 即

21、（1）
（2）

（
）

时，
，当
时，
.即
在
上递增，在
递减.故
时，有
.(3分)

，则

易证
在在
上递增，在
上递减.
时，有

.

,即
，

即证
（8分）

当
时，命题显然成立；

假设当
时，命题成立，即当
时，

.则当
，即当
时，

，又假设知

，即

=
.

这说明当
时，命题也成立.

综上①②知，当
，正数
满足
时

（14分）

（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）