浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学文科试卷

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟

2．整场考试不准使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合
，则
（ ）

A．
B．
或
C．
D．

2. 已知向量
,
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3. 右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，

样本重量均在
内，其分组为
，
，

，则样本重量落在
内的频数为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 函数
图象的一条对称轴方程可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 函数
在区间
内的零点个数是（ ）

A．
B． C． D．

7. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则能得出
的是（ ）

A．
，
，
B．
，
，

C．
，
，
D．
，
，

8．实数
满足
,若
的最大值为13,则实数
的值为（ ）

A. 2 B.
C.
D. 5

9. 已知双曲线
，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过定点（　　）

A．

（3，0）

B．

（1，0）

C．

（﹣3，0）

D．

（4，0）



10. 在实数集中定义一种运算“”，对任意
，
为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意
，
；

（2）对任意
，
.

则函数
的最小值为 （　　）

A． B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知

12. 复数
（其中为虚数单位）的虚部为

13. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是　　

14. 设F1，F2是椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|:|AF2|=3:4，则椭圆的离心率为　　．

15. 如图所示是一个四棱锥的三视图，

则该几何体的体积为

16. 已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围为

17．非零向量
，
夹角为
，且
，则
的取值范围为　　 　　

三、解答题：本大题共5题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）

在
中,
分别是角
的对边，且
.

（Ⅰ）求的大小;

（Ⅱ）若
，
,求
的面积.

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．

（Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本题满分14分）

已知
是等差数列，公差为
，首项
，前项和为
.令
,
的前
项和
.数列
满足

，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求的取值范围.

21．(本小题满分15分)

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
的切线方程；

（Ⅱ）对一切
,
恒成立,求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，试讨论
在
内的极值点的个数.

22．(本小题满分15分)

已知圆
过定点
，圆心
在抛物线
上，
、
为圆
与轴的交点．

（Ⅰ）当圆心
是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．

（Ⅱ）当圆心
在抛物线上运动时，
是否为一定值？请证明你的结论．

（Ⅲ）当圆心
在抛物线上运动时，记
，
，求
的最大值，并求出此时圆
的方程．

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试

数学文科试卷答卷

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17.

三、解答题：

18．（本小题满分14分）

在
中,
分别是角
的对边，且
.

（Ⅰ）求的大小;

（Ⅱ）若
，
,求
的面积.

19. （本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．

（Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分14分）

已知
是等差数列，公差为
，首项
，前项和为
.令
,
的前
项和
.数列
满足

，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求的取值范围.

21．(本小题满分15分)

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
的切线方程；

（Ⅱ）对一切
,
恒成立,求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，试讨论
在
内的极值点的个数.

22. (本小题满分15分)

已知圆
过定点
，圆心
在抛物线
上，
、
为圆
与轴的交点．

（Ⅰ）当圆心
是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．

（Ⅱ）当圆心
在抛物线上运动时，
是否为一定值？请证明你的结论．

（Ⅲ）当圆心
在抛物线上运动时，记
，
，求
的最大值，并求出此时圆
的方程．

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试

数学文科试卷答案

一．选择题：每小题5分，共50分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

C

D

B

C

C

A

B



二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11． 12.
13.
14.

15. 16.
17.

三．解答题：

18．解：（Ⅰ）由
得：

，………………………………………………………………………4分

，又

………………………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，…………………………………………………………………10分

又
，

，
……………………………………………………………12分

. ……………………………………………14分

19．解：

证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点

∴EF∥CD 又∵AB∥CD， ∴AB∥EF， 又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB；

∴EF∥平面PAB；

解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC

故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小

作MH⊥AF，垂足为H，连接EH

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB

又∵AB⊥AD，PA∩AD=A

∴AB⊥平面PAD

∴EF⊥平面PAD ∵MH?平面PAD

∴EF⊥MH

∴MH⊥平面ABEF

∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角

在Rt△EHM中，EM=
AC=
，MH=

∴sin∠MEH=
=

∴AC与平面ABEF所成角的正弦为





20. 解： (Ⅰ)设等差数列的公差为
，因为

所以

则
……………………………………………………………3分

则
解得

所以
………………………………………………………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

由


…………………………11分

因为
随着的增大而增大，所以
时，
最小值为

所以
…………………………………………………………………………………14分

21．解：(Ⅰ) 由题意知
,所以

又
，

所以曲线
在点
的切线方程为
………………………5分

(Ⅱ)由题意:

,即

设
,则

当
时,
；当
时,

所以当
时，
取得最大值

故实数的取值范围为
. ……………………………………………………10分

(Ⅲ)
，
，

①当
时, ∵
∴存在
使得

因为
开口向上，所以在
内
,在
内
即
在
内是增函数,
在
内是减函数

故
时，
在
内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………12分

②当
时,因

又因为
开口向上

所以在
内
则
在
内为减函数，故没有极值点…………14分

综上可知：当
，
在
内的极值点的个数为1；当
时,
在

内的极值点的个数为0. …………………………………………………………15分

22．解：（1）抛物线
的顶点为
，准线方程为
，圆的半径等于1，圆
的方程为
．弦长
………………………4分

（2）设圆心
，则圆
的半径
，

圆
的方程是为：
…………6分

令
，得
，得
，
，

是定值．………………8分

（3）由（2）知，不妨设
，
，
，
．

．………………11分

当
时，
．………………12分

当
时，
．

当且仅当
时，等号成立…………………………14分

所以当
时，
取得最大值
，此时圆
的方程为
．………………………………15分