冀州中学高三年级第四次月考理科数学试题

考试时间120分钟 试题分数150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、设复数
满足
，则
=（ ）

A、
B、
C、
D、

2、设集合P＝{x|
}，则集合P的非空子集个数是（ ）

A、2 B、3 C、7 D、8

3、下列说法中正确的是 （ ）

A、若命题
有
，则
有
；

B、若命题
，则
；

C、若
是
的充分不必要条件，则
是
的必要不充分条件；

D、方程
有唯一解的充要条件是

4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该

几何体的体积是 （ ）

A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3

5、函数
的零点所在的区间是（ ）

A、
B、
C、
D、

6、将函数
的图像向右平移
个单位，再向上平移

1个单位，所得函数图像对应的解析式为 （ ）

A、
B、

C、
D、

7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，

则
的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D、

8、已知函数
（
）的图象在
处的切线

斜率为
（
），且当
时，其图象经过

，则
A、
B、5 C、6 D、7（ ）

9、已知
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
,则
的最大值是A、1 B、2 C、
D、
（ ）

10、将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有 （ ）

A、192 B、144 C、288 D、240

11、若椭圆
的离心率
，右焦点为
，方程
的两个实数根分别是
，则点
到原点的距离为（ ）

A、
B、
C、2 D、

12、已知偶函数
满足：
，若函数
，则
的零点个数为 （ ）

A、1 B、3 C、2 D、4

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)

13、二项式
的展开式中常数项为 （用数字作答）。

14、若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则该双曲线的离心率为 。

15、已知
满足约束条件
若目标函数
的最大值为7，则
的最小值为 。

16、已知三棱锥
的所有棱长都相等，现沿
三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为
，则三棱锥
的内切球的表面积为 。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分12分）

已知函数
满足

（1）求实数
的值以及函数
的最小正周期；

（2）记
，若函数
是偶函数，求实数
的值.

18、（本小题满分12分）

某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
．

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于
小时的学生可申请在学校住宿，若招生
名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选
名学生，这
名学生中上学路上所需时间少于
分钟的人数记为
，求
的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19、（本小题满分12分）

已知四棱锥
中，
平面
，

底面
是边长为
的菱形，
，

．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设
与
交于点
，
为
中点，

若二面角
的正切值为
，

求
的值．

20、（本小题满分12分）

已知抛物线
，直线

与抛物线交于
两点．

（Ⅰ）若
轴与以
为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线
与
轴负半轴相交，求
面积的最大值．

21、（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若在
上存在一点
，使得
＜
成立，求
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。

22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，

直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结

MC，MB，OT．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，试求
的大小．

23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.

已知直线
经过点
，倾斜角
，圆C的极坐标方程为

(Ⅰ)写出直线
的参数方程，并把圆
的方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ)设
与圆
相交于两点
，求点
到
两点的距离之积.

24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

（1）当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

河北冀州中学高三年级第四次月考

理科数学答题卡

班级 姓名

考场

准考证号





















条形码粘贴区(居中)













缺考

违纪





注意事项

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴好条形码。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求字体公整，笔记清楚。

3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。





填涂样例

正确填涂

错误填涂







一. 选择题（每小题5分，共60分）

1 abcd

2 abcd

3 abcd

4 abcd



5 abcd

6 abcd

7 abcd

8 abcd



9 abcd

10 abcd

11 abcd

12 abcd



二. 填空题（每小题5分，共20分）

13、 14、

15、 16、



三. 解答题

17、（12分）



18、（12分）



19、（12分）



20、（12分）



21、（12分）




（10分）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。





河北冀州中学高三年级第四次月考理数答案

一、选择题：CBCDCA BBCDAB

二、填空题：13、－10； 14、
； 15、7； 16、

三、解答题：

17、解（1）由
得，
解得
……3分

将
，
代入
得

所以


…………5分

所以函数
的最小正周期
…………6分

（2）由（1）得
，所以
……8分

函数
是偶函数，则对于任意的实数
，均有
成立。

所以

整理得，
对于任意的实数
均成立，

只有
，解得
，所以
，
……12分

18、解：（Ⅰ）由直方图可得：
．

所以
． 3分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于
小时的频率为：
，

因为
，所以1200名新生中有
名学生可以申请住宿． 6分

（Ⅲ）
的可能取值为
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，
,
,

,
,
．

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为
． 12分

19．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分

从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分

（Ⅱ）如图,以
为原点,
所在直线为
轴,
轴建立空间直角坐标系，则

,
,

…………8分

从而

………………9分

因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为
．……10分

设平面PMD的法向量为
,由
得

取
，即
……………11分

设
与
的夹角为
，则二面角
大小与
相等从而
，得

从而
，即
． ……………12分

20．解：（Ⅰ）联立
，消
并化简整理得
．

依题意应有
，解得
．

设
，则
，

设圆心
，则应有
．

因为以
为直径的圆与
轴相切，得到圆半径为
，

又
．

所以
，解得
．

所以
，所以圆心为
．

故所求圆的方程为
．……………6分

（Ⅱ）因为直线
与
轴负半轴相交，所以
，

又
与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知
，所以
，

直线
：
整理得
，点
到直线
的距离
，

所以
． 令
，
，











＋

0

－







极大






，

由上表可得
的最大值为
．所以当
时，
的面积取得最大值
．

……………12分

21、解析：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，
，
,切点
，斜率

∴曲线
在点
处的切线方程为
………………………………… 4分

（Ⅱ）
，
……5分

①当
时，即
时，在
上
，在
上
，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增；………………………6分

②当
，即
时，在
上
，所以函数
在
上单调递增．

………………………………… 8分

（Ⅲ）在
上存在一点
，使得
成立，即在
上存在一点
，使得
，即函数
在
上的最小值小于零．……9分

由（Ⅱ）可知：①当
，即
时，
在
上单调递减，

所以
的最小值为
，由
可得
，

因为
，所以
；………………………………… 10分

②当
，即
时，
在
上单调递增，

所以
最小值为
，由
可得
；…………………11分

③当
，即
时，可得
最小值为
，

因为
，所以，
故

此时不存在
使
成立．

综上可得所求
的范围是：
或
．………………12分

22、（Ⅰ）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理
，
，得
，设半径OB=
，因BD=OB，且BC=OC=
，

则
，
，所以
……5分

（Ⅱ）由（1）可知，
，且
，

故
∽
，所以
； ………………………… 8分

根据圆周角定理得，
，则
…………… 10分

24、解：当a =－3时，
，

不等式f(x)≥3的解集为
……………………5分

(Ⅱ) |x + a| + |x－2|≤|x－4|，有|x + a| ≤|x－4|－|x－2|，

当
有|x + a| ≤(4－x)－(2－x)=2, 即
……………………10分