冀州中学2015届高三上学期第三次月考

数学（理）试题

命题人：何子新

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)

1.设集合
，
，则“
”是“
”（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )

A.(
，0) B.(
，0)或(－
，0) C. (0，
)或(0，－
) D. (0，
)

3．设向量
满足
，则
(t∈R)的最小值为( )

A.
B.
C.1 D.2

4. 已知数列
满足
那么
的值是

A．20092 B．2008×2007 C．2009×2010 D．2008×2009

5. 如图所示，在边长为
的菱形
中，
，对角线相交于点
是线段
的一个三等分点，则
等于

A．
B．
C．
D．

6.已知函数
在
单调递减，则
的取值范围( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知{
}为等差数列,0

A．[- (,-(） B．[- (,- (] C．（- (,- (） D．[- (,- (]

8. 已知非零向量
与
满足
且

则△ABC的形状是

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．三边均不相等的三角形

9. 已知数列{
}的首项
，
，则下列结论正确的是

A.数列{
}是等比数列 B.数列
是等比数列

C.数列{
}是等差数列 D.数列
是等差数列

10. 函数
为定义在
上的减函数，函数
的图像关于点（1,0）对称，
满足不等式
，则当
时，
的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( ) A.
B.
C.
D.

12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )

A.5π B.12π C.20π D.8π

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上)

13.
等于 ．

14. 已知正方形
的边长为2，
为
的中点，则

15.在△ABC中，
，点D在边BC上，
，
，
，则AC＋BC＝_________________.

16. 已知函数

有下列4个命题：

①若
，则
的图象关于直线
对称；

②
与
的图象关于直线
对称；

③若
为偶函数，且
，则
的图象关于直线
对称；

④若
为奇函数，且
，则
的图象关于直线
对称.

其中正确的命题为________

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本题满分12分）

设数列
的前
项和为
，点
在直线
上.

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，

求数列
的前n项和
.

18.(本小题满分12分)

某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。

(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；

(2)设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).

19.(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点.

(1)求证：A1B∥平面ADC1；

(2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.

20.(本小题满分12分) 已知函数
.

（1）若
在区间
单调递增，求
的最小值；

（2）若
，对
，使
成立，求
的范围.

21. (本小题满分12分) 已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求·的最大值．

22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为
(t为参数)，l与C分别交于M，N.

(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数
.

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为
，试求
的取值范围。

理科数学参考答案

ADADB DDABC BA
；2 ；
①②③④

17. 解：
由题设可知
，得
。作差得

，当
时，
，所以数列
是首项为2，公比为3的等比数列。

。………………6分

由
知
，
，

因为
， 所以
所以

令
…
，

则
…
①

…
②

①…②得
…

…12分

18.解：（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，

（i＝0，1，2，3，4，5），则P(A2)＝＝． …4分

（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．

P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋＝；

P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P (A1)＋P(A4)＝ ＋＝；

P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P(A5)＝ ＋＝．

则随机变量ξ的分布列为[

ξ

1

3

5



P









…10分

则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分

19.解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．因为DE(平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，

C1(0，1，2) D(，，0)，

＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分

设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则

不妨取m＝(2，－2， 1)．

易得平面ABA1的一个法向量n＝＝(0，1，0)． cos＝＝，平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是．12分

20.解：（1）由
在
恒成立

得：
而
在
单调递减，从而
，

∴
∴
………………………6分

（2）对
，使
∴

在
单调递增∴
……8分

又
∴
在
单调递增，在
单调递减

∴在
上，
∴
则
…………12分

21.【解析】(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，

令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，

由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：＋＝1. (4分)

(2)法一：

依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝.(6分)

由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，　

∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)

＝2＝2.

设φ(k)＝，φ′(k)＝，令φ′(k)＝>0，得－1

又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．

∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2. (12分)

法二：

依题
意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，
Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)

·＝(＋)·＝·

＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝2(k>0) (9分)＝2.

设t＝1＋k(t>1)，则＝＝＝≤.

当且仅当＝时，(·)max＝2. …12分

22.（Ⅰ）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(. 所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分

23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*） △＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． …10分

24.解：（1）当
时，
， 由

得
或
或
，解得
或

即函数
的定义域为
。（5分）

（2）由题可知
恒成立，即
恒成立，而
，所以
，即
的取值范围为
（10分）