冀州中学2015届高三上学期第三次月考

数学试题（文）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知集合
，
则

A．
B．
C．
D．

2. 在复平面内，复数
对应的点的坐标为 ( )

A．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1）

3．若
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．关于函数
，下列说法正确的是（ ）

A. 无零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有两个零点
，且

D. 有两个零点
，且

5．已知
是三条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题为真命题的是

A．若
，
，
，
，则

B．若
，
∥
，
，则

C．若
∥
，
，则
∥

D．若
，
，
，则
∥

6．已知数列
满足
那么
的值是（ ）

A．20092 B．2008×2007 C．2009×2010 D．2008×2009

7. 以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．如图所示，在边长为
的菱形
中，
，对角线相交于点
是线段
的一个三等分点，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

10.若关于
的不等式
有实数解，则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

11. 已知
为等差数列，若
，且它的前
项和
有最小值，那么当
取到最小正值时，
（ ）

A.
B.
C.
D.

12．椭圆
上一点
关于原点的对称点为
，
为其左焦点，若
,设
，则该椭圆的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．

14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．

15.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为__________

16. 已知

可以表示为一个奇函数
与一个偶函数
之和，若不等式
对于
恒成立，则实数
的取值范围是________

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（2）设△
的内角
的对边分别为
且
，
，若
，求
的值．

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB=,AA1=2.

（1）证明：AA1⊥BD

(2) 证明: 平面A1BD // 平面CD1B1;

(3) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

19．（本小题12分）

已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球
个。若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为
。

（1）求
的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为
，第二次取出的小球的标号为
。记“
”为事件
，求事件
的概率.

20．（本小题满分12分）

已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求·的最大值．

21．(本小题满分12分)已知函数
.

（1）若
在区间
单调递增，求
的最小值；

（2）若
，对
，使
成立，求
的范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分.

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一曲线C：
(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为
(t为参数)，l与C分别交于M，N.

(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数
.

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为
，试求
的取值范围。

冀州中学2015届高三上学期第三次月考

数学试题（文）答案

CAADB DADBA CB

13．
14. 1067　 15. 2 16.

17． （Ⅰ）
（3分）

∴函数f(x)的最小正周期

令
，解得

∴函数f(x)的单调递减区间是
（6分）

（Ⅱ）由f(C) = 0，得
，

在△ABC中，

，解得
又
.（12分）

18. （1）证明：∵底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC

又∵A1O⊥平面ABCD BD(面ABCD

∴A1O⊥BD

又∵A1O∩AC=O A1O(面A1AC，AC(面A1AC

∴BD⊥面A1AC AA1(面A1AC

∴AA1⊥BD……………………………………………………………………4分

(2)∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又A1B1=CD ∴四边形A1B1CD是平行四边形

∴A1D∥B1C 同理A1B∥CD1

∵A1B(平面A1BD, A1D (平面A1BD, CD1(平面CD1B1, B1C(平面CD1B

且A1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C

∴平面A1BD // 平面CD1B1……………………………………………………8分

(3) ∵A1O⊥面ABCD ∴A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高.

在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ∴A1O=

∴V三棱柱=
·A1O=·()2·=

所以, 三棱柱ABD-A1B1D1的体积为. ………………………………12分

19．解：（1）由题意，
，

（2）将标号为2的小球记为
,
,两次不放回的取小球的所有基本事件为:

（0,1）,（0,
）,（0,
）,（1,0）,（1,
）,

（1,
）,（
,0）,（
,1）,（
,
）,（
,0）,（
,1），（
,
）,共12个基本事件。A包含的基本事件为: （0,
）,（0,
）,（
,0）, （
,0）.

20．【解析】(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，

令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，

由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：＋＝1. (4分)

(2)法一：

依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)

由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，　

∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)

＝2＝2.

设φ(k)＝，φ′(k)＝，

令φ′(k)＝>0，得－1

又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．

∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2. (12分)

法二：

依题
意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，
Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)

·＝(＋)·＝·

＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝2(k>0)＝2. (9分)

设t＝1＋k(t>1)，则＝＝＝≤.

当且仅当＝时，(·)max＝2. (12分)

21．解：（1）由
在
恒成立

得：
而
在
单调递减，从而
，

∴
∴
……………………6分

（2）对
，使
∴

在
单调递增

∴
…………………………8分

又
∴
在
单调递增，在
单调递减

∴在
上，
∴
则
…………12分

22解：（Ⅰ）证明：

因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(.

所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分

23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*） △＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1