第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
且
，则集合
与集合
的关系是

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
（其中
，是虚数单位），则
的值为

A.
B.
C. 0 D. 2

3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间
内单调递增的是

A．
B．
C．
D．

4．已知角的终边经过点
，且
，则

A.
B.
C.
D.

5. 已知实数、满足
，则
的最大值为

A.
B. C. D.

6．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

A.
B.

C.
D.

7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的

A.
B.
C.
D.

8．设函数
的图象关于直线
对称，它的周期为，则

A．
的图象过点

B．
在
上是减函数

C．
的一个对称中心是

D．将
的图象向右平移
个单位得到
的图象

9. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的
为

A．
B.
C.
D.

10．已知三棱锥
中，
，
，直线
与底面
所成角为
，则此时三棱锥外接球的体积为

A.
B.
C.
D.

11．设函数
，若
有且仅有三个解，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12．已知直线
与抛物线
交于
两点，
是
的中点，
是抛物线上的点，且使得
取最小值，抛物线在点
处的切线为
，则

A.
B.
C.
D.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置．

13. 某工厂生产、、
三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为
，现用分层抽样的方法抽出样本容量的的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为 ________.

14. 若正数
满足
，则
的最小值为________.

15．已知
是双曲线
的左、右焦点，若点
关于直线

的对称点
也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________.

16．设圆
，直线
，点
，若存在点
，

使得
为坐标原点），则
的取值范围为________.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）.

17．（本小题满分10）

已知
.

（1）求
的值；

（2）求
的值.

18．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列
的前项和为
，对任意
，总有
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前项和
.

19.（本小题满分12分）

某工厂生产、两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

（1）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件，元件为正品的概率；

（2）生产一件元件，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下：

（i）记
为生产一件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（ii）求生产5件元件所获得的利润不少于140元的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，底面
为直角三角形，且

，
底面
，且
，点
是
的中点，
且交
于点
.

（1）求证：
平面
；

（2）当
时，求二面角
的余弦值.

21．（本小题满分12分）

已知
，动点
满足
，设
的轨迹为曲线
.

（1）求曲线
的方程；

（2）过的直线
与曲线
交于、两点，过与
平行的直线
与曲线
交于
、
两点，求四边形
的面积的最大值.

22.（本小题满分12分）

已知函数
其中为常数，函数
和
的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围.

2015届高三第五次月考

数学参考答案及评分标准

……………8分

……………10分

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

18．解：（1）由已知
时，
，

两式相减，得
……………2分

又
为正数，
…………4分

是公差为1的等差数列，

当
时，
得
或
（舍去）

…………6分

（2）

……①

由①
得
………② ………8分

由①-②得

…………………… 10分

…………………… 12分

【注】答案形式不唯一.

19．解：（1）原件为正品的概率约为
…………1分

原件为正品的概率约为
…………2分

（2）（i）随机变量
的所有取值为
. …………3分

；
；

；
. ……………7分

所以，随机变量
的分布列为：

…………8分

. …………9分

（ii）设生产的5件元件中正品有件，则次品有
件，

以题意，得
，解得
，

所以，
或
……………11分

设“生产5件元件所获得的利润不少于140元”为事件

则
…………12分

20．解：（1）证明
底面
，
，又

平面
，
平面
，
，…………2分

又
是
的中点，
，

平面
，
，…………2分

又已知
，

平面
.……………6分

（2）解法一：有（1）可知：
平面
，

平面
是二面角
的垂面，

为二面角
的平面角 …………8分

设
，在
中，

在
，

，则
…………10分

在
中，

二面角
的余弦值为
.……………12分

（2）解法二:如图，以为坐标原点，
为轴，
为轴，建立空间直角坐标系
，

设
，则
，
，

，…………8分

设平面
的一个法向量为

则
，即
，

令
，可得
，…………10分

由（1）可知
是平面
的法向量，且

二面角
的余弦值为
.…………12分

21．解：（1）设
，在
中，

由余弦定理得
，…………2分

即

又
，所以
. …………4分

由于
，

因此点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴
，焦距
，

所以，曲线
的方程为
； ……………………… 5分

（2）由题意可知四边形
为平行四边形，结合对称性，则

设直线
的方程为
且

由
，得
，

，且
成立，

，

令
，则
，
，

又
在
上单调递增，

，
的最大值为
，

的最大值为
，此时
.

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

22．解：（1）
与坐标轴交点为
，
，

与坐标轴交点为
，

解得
，又
，故
……………2分

，

令
，显然函数
在区间
上单调递减，且
…………4分

当
时，
，
，
在
上单调递增………5分

当
时，
，
，
在
上单调递减

故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ……………6分

（2）原不等式等价于：
在区间
上恒成立.

设

则
…………7分

令

…………8分

①
时，
在区间
上单调递增，

在
上单调递增，

不符合题意，舍去. ……………9分

②当
时，若

则
在
上单调递增，

在
上单调递增，

不符合题意，舍去. ……………10分

③当
时，
在
恒成立，

在
上单调递减

在
上单调递减

即
对

恒成立，

综上所述，实数
的取值范围是
.………………12分

【注】其他方法比照上述方法酌情给分.