于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十四

（满分100分，60分钟）2015.1. 19

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，2014年年份2014的各位数字之和为7，所以2014年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（　　）

　 A． 24个 B． 21个 C． 19个 D． 18个

2、一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同的专业中选出5个，并按第一志愿，第二志愿，…，第五志愿顺序填进志愿表，若A专业不能作为第一志愿，B专业不能作为第二志愿，且A、B专业不能相邻，则不同的填法种数有（　　）

　 A．1560 B． 1500 C． 1080 D． 960

3、
，已知数列
满足
，且满足
，则
( )

A . 最大值6030 B . 最大值6027 C有最小值6027. D . 有最小值6030

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、已知不等式
＞0的解集为（﹣1，2），m是二项式（ax﹣
）6的展开式的常数项，那么
=

5、已知实数x，y满足
，每一对整数（x，y）对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作不同的圆的个数为

6、已知函数
，
．若
，且曲线
与
总存在公切线，则正实数
的取值范围为 ．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分15分

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=
+af '（x）（x≠0）

（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；

（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；

（3）在（2）的条件下，求直线y=
与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．

8、本题满分15分

数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an﹣1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求和
；

（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：
．

问数列{bn}最多有几项？并求这些项的和．

9、本题满分20分

已知椭圆的焦点在
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率
，过椭圆的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线
，交椭圆于
、
两点。

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点
是线段
上的一个动点，且
，求
的取值范围；

（Ⅲ）设点
是点
关于
轴的对称点，在
轴上是否存在一个定点
，使得
、
、

三点共线？若存在，求出定点
的坐标，若不存在，请说明理由。

10、本题满分20分

设函数
，
.

（Ⅰ）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的极值点.

（Ⅲ）设
为函数
的极小值点，
的图象与
轴交于
两点,且
，
中点为
，求证：
．

于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十四

参考答案2015.1. 19

1、B．解：某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．

∴从2000年到2999年中“七巧年”需要后面三个数之和为5，有0、1、4；0、0、5；2、3、0；

2、2、1；1，1，3。五个类型，后三个数字是0、1、4；2、3、0；各有A33=6个，即12个．

后三个数字是0、0、5；2、2、1；1、1、3各有3个，共有9个；共有12+9=21．

2、B．解：若A、B专业不选，则有
=120种填法；若A专业选、B专业不选，则有
=480种填法，若A专业不选、B专业选，则有
=480种填法，若A、B专业都选，再选出3个专业，有
=10种方法，A从第2志愿开始：（1）①A ③④⑤，B只能在④、⑤位置，这时有：2×6=12种；（2）①②A ④⑤，B只能在①、⑤位置，这时有：2×6=12种；（3）①②③A ⑤，B只能在①位置，这时有：1×6=6种；（4）①②③④A，B只能在①、③位置，这时有：2×6=12种；

因此在A、B均选的情况下，有10×（12+12+6+12）=420种，故共有120+480+480+420=1500种

3、A．解析：
，当
时，
=6030

对于函数
,
,在
处的切线方程为即
，

则
成立，

所以当
时，有

4、5．解：由于不等式
＞0的解集为（﹣1，2），故有﹣a+b=0，即a=b．

由于二项式（ax﹣
）6的展开式的通项公式为Tr+1=
?（﹣a）r?a6﹣r?x6﹣3r，

令6﹣3r=0，求得r=2，可得展开式的常数项m=15a6，故
=
=5，

5、37．解：作出不等式组
可行域

可行域中所有的整数点有A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、

G（﹣1，1）、O（0，0）、F（0，1）、H（0，2）、

C（1，0）、E（1，1）、D（2，0），共有9个．

其中，三点共线的有4种情况：AGH，DEH，OFH，EFG．

还有5个点A、B、O、C、D共线．

四点共圆的情况（四边形对角互补）有11种：

3个正方形：OCEF，OBGF，OEHG．

一个矩形：CEGB．

五个等腰梯形：ADEG，ACFG，BDEF，DHCF，AHBF．

则可作不同的圆的个数是：C93﹣C53﹣4C33 ﹣11
+11=37．

6、
．解：
，
，

曲线
在点
处的切线方程为
，即
．

由
，得
．

∵ 曲线
与
总存在公切线，∴ 关于

的方程
，

即

总有解．

若
，则
，而
，显然
不成立，所以
．

从而，方程
可化为
．

令

，则
．

∴ 当
时，
；当
时，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增．∴
在
的最小值为
，

所以，要使方程
有解，只须
，即
．

7、解：（1）∵
，

∴当x＞0时，
；当x＜0时，

∴当x＞0时，
；当x＜0时，
．

∴当x≠0时，函数
．

（2）∵由（1）知当x＞0时，
，∴当a＞0，x＞0时，
当且仅当
时取等号．∴函数
在
上的最小值是
，∴依题意得
∴a=1．

（3）由
解得

∴直线
与函数
的图象所围成图形的面积

=
+ln3﹣ln4．

8、解：（1）由Sn=2an﹣1得Sn+1=2an+1﹣1，相减得an+1=2an+1﹣2an，即an+1=2an．

又S1=2a1﹣1，得a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列，∴an=2n﹣1．

（2）由（1）知Sn=2n﹣1，

∴S1?
+S2?
+S3?
+…+Sn+1?

=（21﹣1）?
+（22﹣1）?
+（23﹣1）?
+…+（2n+1﹣1）?

=2（
+2
+22
+…+2n
）﹣（
+
+
+…+
）

=2（1+2）n﹣2n=2?3n﹣2n

（3）由已知得2?
?
…
=m﹣1．又{bn}是连续的正整数数列，

∴bn=bn﹣1+1．∴上式化为
=m﹣1．又bm=b1+（m﹣1），消bm得mb1﹣3b1﹣2m=0．

m=
=3+
，由于m∈N*，∴b1＞2，∴b1=3时，m的最大值为9．

此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63…（15分）

9、【解】解法一： （I）设椭圆方程为
，由题意知

故椭圆方程为

（Ⅱ）由（I）得
，所以
，设
的方程为
（
）

代入
，得
设

则
,

由
，

当
时，有
成立。

（Ⅲ）在
轴上存在定点
，使得
、
、
三点共线。依题意知
，直线BC的方程为
， 令
，则

的方程为
、
在直线
上，

在
轴上存在定点
，使得


三点共线。

解法二：（Ⅱ）由（I）得
，所以
。设
的方程为

代入
，得
设
则

当
时，有
成立。

（Ⅲ）在
轴上存在定点
，使得
、
、
三点共线。

设存在
使得
、
、
三点共线，则
，

，

即

，

存在
，使得


三点共线。

10、解：Ⅰ.
,依题意得，在区间
上不等式
恒成立，又因为
，所以
，所以
，
，

所以实数
的取值范围
。

Ⅱ.
，令

①当
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

②当
时，（ⅰ）当
，即
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

（ⅱ）当
，即
时，易知，当
时，
，这时
；

当
或
时，
，这时
；

所以，当
时，
是函数
的极大值点；
是函数
的极小值点.

综上，当
时，函数
没有极值点；

当
时，
是函数
的极大值点；
是函数
的极小值点.（Ⅲ）由已知得
两式相减，

得：
…………①

由
，得
…………②

得①代入②，得

=

令
且

在
上递减，