于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十三

（满分100分，60分钟）2015.1. 12

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A. 360 B. 288 C. 216 D. 96

2、与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　）

A．有且只有1个 B． 有且只有2个 C． 有且只有3个 D． 有无数个

3、抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（　　）

A．r∈（0，1] B．r∈（1，2] C．
D．

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、已知双曲线
（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，
上的投影的大小恰好为
且它们的夹角为
，则双曲线的离心率e为

5、 定义在R上的函数
的单调增区间为（-1，1），若方程
恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．

6、给出下列命题：

①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取得极值的必要不充分条件．

②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．

③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为
．

④若P为双曲线x2﹣
=1上一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6．

其中正确命题的序号是　②③　（把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分10分

如图,△ABC中，已知点D在BC边上，满足
?
=0．sin∠BAC=
，AB=3
，BD=
．

（Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求cosC．

8、本题满分20分

在正方体
中，
是棱
的中点，

（1）求直线
和平面
所成角的正弦值；

（2）在棱
上是否存在一点
使得
面
？证明你的结论。

（3）在对角线
上是否存在点
,使
为钝角，若存在，求
的取值范围，若不存在，说明理由。

9、本题满分20分

给定椭圆C：
=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆

的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．

（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，

求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；

（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．

10、本题满分20分

已知函数
．

（1）求
在
上的最大值；

（2）若直线
为曲线
的切线，求实数
的值；

（3）当
时，设
，且
，若不等式
恒成立，求实数
的最小值．

于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十三

参考答案2015.1. 12

1、B．解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有
种，其中男生甲站两端的有
，符合条件的排法故共有288

解析2：由题意有
。

2、D．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，

并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，

因为
=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．

作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，

则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=
；

同理点P到直线AB、CC1的距离也是
．

所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，

所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．

3、D．解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．

设直线l：x=my+1，（1） 代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0， △=16（m2+1），

把（1）代入（x﹣1）2+y2=r2得y2=

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|=|BD|

即y1﹣y3=y2﹣y4， 即y1﹣y2=y3﹣y4，即4
=
，即r=2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）

即
是直线l只有三条的必要条件

4、
。解：∵
上的投影的大小恰好为
，∴PF1⊥PF2

且它们的夹角为
，∴
，

∴在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，∴PF2=c，PF1=

又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a，∴
c﹣c=2a，∴
，e=

5、
， 解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），

∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），

∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，

即﹣1+1=
，
，解得b=0，c=﹣3a．

∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），

则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．

要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，

∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），

∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，

当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，

∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，

∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，

此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），

即2a＜1＜﹣2a，

即
，即a
，

6、②③．解：对于①，先说明充分性不成立，

例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，

说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；

再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；

对于②，由题意，若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A33=6种；若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A22×A33=12，

综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=
+kπ k∈z 又∵0＜θ＜π∴θ=

由诱导公式得函数y=2coswx 又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2﹣x1|的最小值为π∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；

对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=
，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=2，∴|PF1|﹣4=±2，

∴|PF1|=6或2，但是|PF1|≥c﹣a=
﹣1，故|PF1|=2舍去．故④错．

7、解：（Ⅰ）∵
?
=0，∴AD⊥AC，∴
，

∵sin∠BAC=
，∴

在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcos∠BAD，

即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 由于AB＞AD，∴AD=3

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知
，又由
，

可知
，∴
=
，

∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=
，∴
．

8、解：不妨设正方体的棱长为
，建立如图所示的空间直角坐标系，

则
,
,
，
,
，

，
，所以
，

平面
的法向量为
,直线
和平面
所成角为
，则

（2）依题意得,
,
,设面
的法向量为
，则
,取
，则
，设
是棱
上的点，则
，
，又
，则
，所以
，解得
，即在取
中点
能使得
面
。

（3）假设在对角线
上存在点
,使
为钝角，不妨设
，则
，由
，则
，又
,

所以
,
,因为
为钝角，所以

解得
，所以存在点
,使
为钝角，
的取值范围为

9、（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
．

∴
，
，∴
=1，∴椭圆方程为
，∴准圆方程为x2+y2=4．

（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），

设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，

联立
得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵
，∴l1⊥l2．

（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：
，

当l1：
时，l1与准圆交于点
，

此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：
时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中
．

设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由

得
．

由△=0化简整理得
，

∵
，∴有
．

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，

∴t1，t2满足上述方程
，∴t1?t2=﹣1，即l1，l2垂直．

综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．

∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，

∴线段MN的长为定值．

10、解：（1）
，

令
，解得
（负值舍去），由
，解得
．

（ⅰ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
．

（ⅱ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
．

（ⅲ）当
时，
在
时，
，在
时，
，

在
上的最大值为
．

（2）设切点为
，则
由
，有
，化简得
， 即
或
， …① 由
，有
，…②

由①、②解得
或
．

（3）当
时，
，由（2）的结论直线
为曲线
的切线，

，
点
在直线
上，根据图像分析，曲线
在线
下方．

下面给出证明：当
时，
．

，

当
时，
，即
．

，

，
．

要使不等式
恒成立，必须
．

又
当
时，满足条件
，

且
，因此，
的最小值为
．