上海市青浦区2015届高三上学期期末学业质量调研测试（一模）

数学试题

　　　Q.2015.01.05

（满分150分，答题时间120分钟）

学生注意：

本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

可使用符合规定的计算器答题．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若复数
（
为虚数单位），则
的值为_____________.

2. 设
是等差数列
的前
项和，若
，则
.

3．
展开式中有理项的个数是 .

4．直线
的倾斜角
.

5．已知函数
与
，它们的图像有一个横坐标为
的交点，则
的值是 ．

6．平面
截半径为
的球
所得的截面圆的面积为
，则球心
到平面
的距离为__ _ _ .

7．函数
的反函数为
，如果函数
的图像过点
，那么函数
的图像一定过点 .

8. 已知函数
对任意的
满足
，且当
时，
．若

有4个零点，则实数
的取值范围是 ．

9.抛物线
的动弦
的长为
，则弦
中点
到
轴的最短距离是 .

10．若甲乙两人从
门课程中各选修
门，则甲乙所选的课程中恰有
门相同的选法有 种.

11．已知
，则无穷数列
前
项和的极限为 .

12.已知正实数
满足
，则
的最小值为 ．

13. 设函数
在
上有定义，对于任意给定正数
，定义函数

，则称函数
为
的“孪生函数”，若给定函数

，
，则
.

14.当
和
取遍所有实数时，
恒成立，则
的最小值为 .

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.已知
，则向量
与向量
的夹角为………（ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

16.设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是…………………………………………………………………………………………（ ）.

（A）若
，则
//
（B）若
//
，则

（C）若
，则
//
或
（D）若
，则

17．设
为正实数，则“
”是“
”成立的………………（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

18.设函数
，函数
，则方程
实数根的个数是……………………………………………………………………………（ ）.

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）
个

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.

如图所示，在长方体
中，
，
，

，
为棱
上一点.

（1）若
，求异面直线
和
所成角的正切值；

（2）若
，求证
平面
.

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.

如图，摩天轮上一点
在
时刻距离地面高度满足
，
，已知某摩天轮的半径为
米，点
距地面的高度为
米，摩天轮做匀速转动，每
分钟转一圈，点
的起始位置在摩天轮的最低点处．

（1）根据条件写出
（米）关于
（分钟）的解析式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点
距离地面超过
米?

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于
轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是
，双曲线的左、右顶点
、
是该圆与
轴的交点，双曲线与半圆相交于与
轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为
、
，试在“8”字形曲线上求点
，使得
是直角．

22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.

已知数列
是公差不为
的等差数列，
数列
是等比数列，且
，
，数列
的前
项和为
，记点
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：点
在同一直线
上，并求出直线
方程；

（3）若
对
恒成立，求
的最小值．

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

已知函数
.

（1）作出函数
的图像，并求当
时
恒成立的
取值范围；

（2）关于
的方程
有解，求实数
的取值范围；

（3）关于
的方程
（
）恰有
个不同的实数解，求
的取值范围.

参考答案及评分标准 2015.01

说明

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．
； 2.
；

3．
； 4．
；

5．
； 6．
；

7．
； 8.
；

9.
； 10．
；

11．
； 12.
；

13.
； 14.
.

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.
；16.
； 17．
；18.
.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.

19. 解（1）由题意，
，
，得
………… 1分

，所以异面直线
和
所成角即为
和
所成角 ………… 3分

长方体
中，
，
面
，

，故可得
为锐角且
…………………… 6分

（2）由题意，
，
，

，
，即
……………………………… 8分

又由
面
可得
………………………………………… 10分

故
平面
. ………………………………………………………………12分

（说明：建立空间直角坐标系的相应给分）

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.

解：（1）由题设可知
，
， …………………… 2分

又
，所以
， …………………… 4分

从而
，

再由题设知
时
，代入
，得
，从而
， …………………… 6分

因此，
. …………………… 8分

（2）要使点
距离地面超过
米，则有
，……… 8分

即
，又
解得
，

即
…………………… 10分

所以，在摩天轮转动的一圈内，点
距离地面超过
米的时间有
分钟.…… 14分

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解（1）设双曲线的方程为
，在已知圆的方程中，令
，

得
，即
，则双曲线的左、右顶点为
、
，于是
…………………… 2分

令
，可得
，解得
，即双曲线过点
，则
所以
，…………… 4分

所以所求双曲线方程为
……………………6分

（2）由（1）得双曲线的两个焦点
，
…………………… 7分

当
时，设点
，

①若点
在双曲线上，得
，

由
，得