于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十一

（满分100分，60分钟）2014.12.29

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、椭圆
的左右焦点分别为
，若椭圆
上恰好有6个不同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

2、如图，己知|
|=5，|
|=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，
=x
+y
，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，

①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；

④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．

满足题设条件的为（　　）

A． ①②④ B． ①③④

C．①③⑤ D． ②⑤

3、对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax+3y+6=0，l2：2x+（a+1）y+6=0，和圆C：x2+y2+2x=b2﹣1（b＞0）的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为（　　）

A．（
，
） B．（0，
） C．（0，
） D．（
，
）∪（
，+∞）

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则
：

5、已知平面内一动点
到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于1．则动点
的轨迹
的方程为 ；

6、已知直线：
x+
y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：

①当θ=
时，S中直线的斜率为
；

②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面．

③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；

④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；

其中正确的是　③④　（写出所有正确命题的编号）．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分10分

已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．

（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；

（Ⅱ）已知E（1，1），F（1，﹣3），若圆C上存在点Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圆心的横坐标a的取值范围．

8、本题满分20分

已知抛物线
：
，直线
交
于
两点，
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交
于点
．

(Ⅰ）证明：过点
与抛物线
只有一个交点的直线
（
的斜率存在）与
平行；

(Ⅱ）是否存在实数
使

若存在，求
的值；若不存在，说明理由．

9、本题满分20分

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率
。它有一个顶点恰好是抛物线
=4y的焦点。过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且
。

（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左右顶点分别为A，B，直线AC（C点不同于A，B）与直线
交于点R， D为线段RB的中点。试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论。

10、本题满分20分

设
,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知
,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知
,设直线
与圆C:
(1

于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十一

参考答案 2014.12.29

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、D【解析】当点P位于椭圆的两个短轴端点时，
为等腰三角形，此时有2个。,若点不在短轴的端点时，要使
为等腰三角形，则有
或

。此时
。所以有
，

即
，所以
，即
，又当点P不在短轴上，

所以
，即
，所以
。

所以椭圆的离心率满足
且
，即
，所以选D.

2、B．解：设线段OP与AB的交点为C，

则由向量共线定理知：存在实数λ，
，其中λ＞0，

∴
=
=
，

∵
共线，

∴存在实数μ，使得
，

∵N为AB的中点，∴μ
'

又∵|
|=5，|
|=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=
BM，

∴AC≤AM=
AB，故
，

∴
=
=

∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，

∴x≥0，y≥0；

∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；

∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．

3、D．解：圆C的标准方程为（x+1）2+y2=b2，由两直线平行得a（a+1）﹣6=0，

解得a=2或a=﹣3，又当a=2时，直线l1，l2重合，舍去，

此时两平行线方程分别为x﹣y﹣2=0和x﹣y+3=0，

由直线x﹣y﹣2=0与圆（x+1）2+y2=b2相切，得b=
，

由直线x﹣y+3=0与圆相切，得b=
，

当两直线与圆都相离时，b＜
，

∴“平行相交“时，b满足：
，

∴b的取值范围是：（
）∪（
）．

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、0. 解：（Ⅰ）设M（x，y），则∵|MB|=λ|MA|，∴（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λy2，

由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b）2=λ2（﹣1+2）2，

∴b=﹣
，λ=
．

5、
和
（
）解：设动点
的坐标为
，由题意得
，简得
，当
时
；当
时

所以动点
的轨迹
的方程为
和
（
）

6、③④ 解：①当θ=
时，S中直线的斜率为k=﹣
=﹣
，故①错误；

②（0，0）不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，故②错误；

③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等，故③正确；

④当a＞b时，S中两条平行直线间距离为d=
≥2b，即最小值为2b，故④正确．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分10分

解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，

∴有
，解得a=2，

∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4；

（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|2﹣|QE|2=32得：（x﹣1）2+（y+3）2﹣[（x﹣1）2+（y﹣1）2]=32，即y=3，∴Q在直线y=3上，∵Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，

∴⊙C与直线y=3有交点，

∵⊙C的圆心纵坐标为﹣a+2，半径为2，

∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤﹣a+2≤5，

∴﹣3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是﹣3≤a≤1．

8、本题满分20分

解：（Ⅰ）如图，设
，
，把
代入

得
，由韦达定理得
，
，

，

点的坐标为
．

设过点
的直线
的方程为
，

将
代入上式得
，
直线
与抛物线
只有一个交点，

，
．即
．

(Ⅱ）假设存在实数
，使
，则
，又
是
的中点，
．

由（Ⅰ）知

．

轴，
．

又

．

，解得
．即存在
，使

9、本题满分20分

解：（Ⅰ）由题意，可得b=1，e=
，∴a=2，因此，椭圆的方程为
．

设C（x，y），P（x0，y0），由题意x0=x，y0=
y， 代入
，即x2+y2=4．

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4．

（Ⅱ）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），∵A、C、R三点共线，∴
∥
，

而
=（m+2，n），
=（4，t），则4n=t（m+2），

∴t=
，可得点R的坐标为（2，
），点D的坐标为（2，
），

∴直线CD的斜率为k=
， 而m2+n2=4，∴﹣n2=m2﹣4，代入上式可得k=﹣
，﹣

∴直线CD的方程为y﹣n=﹣
（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，

∴圆心O到直线CD的距离d=
=2=r，因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切，

10、本题满分20分

解:（1）因为
,
,
,所以
, 即
.

当m=0时,方程表示两直线,方程为
; 当
时, 方程表示的是圆

当
且
时,方程表示的是椭圆; 当
时,方程表示的是双曲线.

(2).当
时, 轨迹E的方程为
,设圆心在原点的圆的一条切线为
,解方程组
得
,即
,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=
,

即
,即
, 且

,

要使
, 需使
,即
,

所以
, 即
且
, 即
恒成立.

所以又因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为
,
, 所求的圆为
.

当切线的斜率不存在时,切线为
,与
交于点
或
也满足
.

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
.

(3)当
时,轨迹E的方程为
,设直线
的方程为
,因为直线
与圆C:
(1

因为
与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知
得
,

即
有唯一解

则△=
, 即
, ②

由①②得
, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,

由
中
,所以,
,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以
,所以
,

在直角三角形OA1B1中,
因为
当且仅当
时取等号,所以
,即

当
时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.