2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（文）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.[来源:学科网]

2．若集合
，则M∩N
_______________.

3．复数
=______________.（
是虚数单位）

4．已知数列
的前
项和
，则其通项公式为

5. 已知
，则

6. 已知
且
，则复数
对应点在第二象限的概率为
（用最简分数表示）

7．已知函数
，
是函数
的反函数，若
的图象过点
，则
的值为
　

8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的

母线与底面所成的角的大小是 .

9．根据右面的框图，打印的
最后一个数据是 .

10．已知数列
是以
为公差的等差数列，
是其前

项和，若
是数列
中的唯一最大项，则数列

的首项
的取值范围是 .

11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白

信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好

有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .

12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
， 则
的值是 。

13. 如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，若
，
，则
的值为 ．

14. 已知
的展开式中的常数项为
，
是以
为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数

有4个零点，则实数
的取值范围是 ．

二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写
在圆括号内),一律得零分．

15．设z1、z2∈C,则“z
+z
=0”是“z1=z2=0”的 ( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

16. 若正数a,b,c成公差不为零的等差数列，则 （ ）

（A）lga，lgb，lgc成等差数列 （B）lga，lgb，lgc成等比数列

（C）
成等差数列 （D）
成等比数列

17．函数
的图象为 （ ）

[来源:学科网]

　 （A） （B） （C） （D）

18.
是△ABC所在平面内的一点，且满足
，则△ABC的形状一定是 （ ）

（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）斜三角形

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图：三棱锥
中，
(底面
，若底面
是边长为2的正三角形，且
与底面
所成的角为
．若
是
的中点，求：

（1）三棱锥
的体积；

（2）异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知

（1）求
的值；

（2）求
的值。

[来源:Z_xx_k.Com]

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)

(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；

(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列
为等差数列.

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数
，
.

（1）证明：函数
在区间
上为增函数，并指出函数
在区间
上的单调性.

（2）若函数
的图像与直线
有两个不同的交点
，
，其中
，求
关于
的函数关系式.

（3）求
的取值范
围.

23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于给定数列
，如果存在实常数
使得
对于任意
都成立，我们称数列
是 “线性数列”．

（
1）若
，
，
，数列
、
是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数
，若不是，请说明理由；

（2）证明：若数列
是“线性数列”，则数列
也是“线性数列”；

（3）若数列
满足
，
，
为常数
．求数列
前
项的和．

2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷

参考答案（文）

一、填空题

1、
2、
3、
4、

5、
6、
7、
8、
9、

10、
11、

12、
13、
14、

二、选择题

题号

15

16

17

18



答案











三、解答题

19、[解]（1）因为
底面
，
与底面
所成的角为

所以
………2分 因为
，所以
…………4分

………………6分

（2）连接
，取
的中点，记为
，连接
，则

所以
为异面直线
与
所成的角 ………………7分

计算可得：
，
，
………………9分

………………11分

异面直线
与
所成的角为
………………12分

20、【解】（1）由条件得到
，………………2分

解得
或者
………………4分[来源:学科网]

，
………………6分

（2）
………………2分+2分+2分=6分

21、证明：(1）∵{
an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+
1x+ak+2=0

可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ………………2分

∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1. ………………4分

(2）原方程不同的根为xk=
………………7分

………………12分

………………14分

22、【解答】（1）证明：任取
，
，且
，

，………………2分

.

所以
在区间
上为增函数.

函数
在区间
上为减函数. ………………4分

（2）解：因为函数
在区间
上为增函数，相应的函数值为
，在区间
上为减函数，相应的函数值为
，由题意函数
的图像与直线
有两个不同
的交点，故有
，
………………6分

易知
，
分别位于直线
的两侧，由
，得
，故
，
，又
，
两点的坐标满足方程
，故得
，
，………………8分

即
，
， ………………9分

故
.………………10分

(3) 当
时，
，，故
，………………12分

又
，因此
；…………14分

当
时，
，
，从而
； ……………16分

综上所述，
的取值范围为
. ………………18分

23、【解】（1）因为
则有

故数列
是“线性数列”， 对应的实常数分别为
． ……………………………2分

因为
，则有

故数列
是“线性数列”， 对应的实常数分别为
． ……………………………4分

（2）证明：若数列
是“M类数列”， 则存在实常数
，

使得
对于任意
都成立，

且有
对于任意
都成立， …………………………………………7分

因此
对于任意
都成立，

故数列
也是“线性数列” …………………………………………9分

对应的实常数分别为
． ……………………………………………………………10分

（3）因为
则

当
为偶数时，

………………13分

当
为奇数时，

[来源:学科网ZXXK]

………………16分

故数列
前
项的和

………………18分