于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十二

（满分100分，60分钟）2015.1.5

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （　　）

A． [0，
] B． [
，
] C． [
，
] D． [0，
]∪[
，π）

2、在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（　　）

A． 1 B． 2 C． 0 D． ﹣1

3、已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，

F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，

N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（　　）

A．
B． 2

C．
D．

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、已知圆x2+y2=2的切线l与两坐标轴分别交于点A，B两点，则△AOB（O为坐标原点）面积的最小值为　 　．

5、设直线l过点P（0，3），和椭圆
交于A、B两点（A在B上方），试求
的取值范围　 　．

6、平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，命题：

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；

③如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b必经过无穷多个整点；

④如果直线l经过两个不同的整点，则l必经过无穷多个整点；

⑤存在恰经过一个整点的直线；

其中的真命题是　 　（写出所有真命题编号）．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分10分

已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点（1，
）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点A的坐标为（2，0），直线l经过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于P，Q两点．求证：∠PAF=∠QAF．

8、本题满分20分

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线C上的动点．且△FOA的外接圆圆心到准线的距离为
．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过P作圆x2+（y﹣1）2=
的两条切线分别交该圆

于点M，N，求四边形PMFN面积的最小值及此时P点

坐标．

（3）设点T（0，t），且对抛物线C上的任意动点P，

∠TPF总为锐角，求实数t的取值范围．

9、本题满分20分

如图，曲线C由上半椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0，y≥0）和

部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点

为A，B，其中C1的离心率为
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于

点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

10、本题满分20分

已知双曲线E：
=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为
，点P是直线x=
上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足
=0．

（1）求实数a的值；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足
，证明点H恒在一条定直线上．

于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十二

参考答案 2015.1.5

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、C，解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为
；

②当a＞0时，直线的斜率k=
，∴k≥1，

即直线的倾斜角的取值范围为[
）．

③当a＜0时，直线的斜率
，∴k≤﹣1，

即直线的倾斜角的取值范围为（
]．

综上，直线的倾斜角的取值范围为
，

2、C．解：∵四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，

∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2
，又直线过定点N（0，1），

且过N的弦的弦长最小值为2
，此时此弦平行x轴，即k=0．

3、A．解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，

∴ON∥PF1，又ON的斜率为
，∴tan∠PF1F2=
，

在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，

根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，∴bt﹣at=2a，①

在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②

由①②消去t，得
，又c2=a2+b2，

∴a2=（b﹣a）2，即b=2a，∴双曲线的离心率是
=
，

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、2，解：设切点P（x0，y0），则l：x0x+y0y=2，

∴
，
，则
．

由
，即|x0||y0|≤1，∴S△AOB≥2，当
时取等号，

∴△AOB面积的最小值为2．

5、 [
）解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，﹣2），这时
=
．

当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，

设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（﹣x1，3﹣y1），向量PB=（x2，y2﹣3），所以
=
，

因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入
后

的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2﹣4（9k2+4）×45＞0，

所以k＞
3或k＜﹣
，设
=λ，则x1=λx2，

因为x1+x2=﹣
，x1x2=
，所以（1+λ）x2═﹣
，，（1） λx22=
，（2）

显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．

综上所述
的范围是[
）．

6、①④⑤，解：对于①，如直线y=x+
，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴①是真命题；

对于②，如直线y=
x+
，过整点（﹣1，0），∴②是假命题；

对于③，如直线y=x+
，不过任何整点，∴③是假命题；

对于④，如直线y=
x+
，过整点（﹣1，0），（1，1），还过无穷多个整点；∴④是真命题；

对于⑤，如直线y=
x+
，过唯一的整点（﹣1，0），∴⑤是真命题；

综上，以上真命题是①④⑤．

故答案为：①④⑤．

三、解答题（满分70分）

7、本题满分20分

（1）解：∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点（1，
）．

∴
，∴a=
，b=1，∴椭圆C的方程
；

（2）证明：斜率不存在时，P，Q关于x轴对称，∠PAF=∠QAF；

斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=
，x1x2=
，

∴kPA+kQA=
+
=2k+
=2k+
=0，

∴∠PAF=∠QAF，

综上，∠PAF=∠QAF．

8、本题满分10分

解：（1）△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线
上，则圆心的纵坐标为

故到准线的距离为
，从而p=2

即抛物线C的方程为：x2=4y．

（2）设P（x0，y0），则∵圆心坐标（0，1）是抛物线C的焦点F ∴|PF|=y0+1

=

∴当y0=0时，四边形PMFN面积的最小值为
，此时点P（0，0）．…（10分）

（3）（理）根据题意：∠TPF为锐角
且t≠

∵
=（﹣x0，t﹣y0），
=（﹣x0，1﹣y0），

∴
?
=y02﹣（t﹣3）y0+t，记：f（y0）=y02﹣（t﹣3）y0+t在y0∈[0，+∞）上恒成立

又f（y0）=（y0﹣
）2﹣
．

当
≥0时，即：t∈[3，+∞），当y0=
时，f（y0）min=﹣
＞0解得：1＜t＜9，∴t∈[3，9]；

当
＜0时，即：t∈（﹣∞，3）当y0=0时，f（y0）min=t＞0，∴t∈（0，3）

综合得：t∈（0，1）∪（1，9）

9、本题满分20分

解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．

设C1：的半焦距为c，由
=
及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为
+x2=1（y≥0）．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）

设点P（xp，yp），

∵直线l过点B，

∴x=1是方程（*）的一个根，

由求根公式，得xp=
，从而yp=
，

∴点P的坐标为（
，
）．

同理，由
得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），

∴
=
（k，﹣4），
=﹣k（1，k+2），

∵AP⊥AQ，∴
?
=0，即
[k﹣4（k+2）]=0，

∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣
．

经检验，k=﹣
符合题意，

故直线l的方程为y=﹣
（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．

10、本题满分20分

（1）解：设双曲线E的半焦距为c，由题意可得
，解得
．

（2）证明：由（1）可知，直线
，点F2（3，0）．

设点
，Q（x0，y0），

因为
，所以
，

所以
．

因为点Q（x0，y0）在双曲线E上，所以
，即
．

所以
=
．

所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值
．

（3）证明：设点H（x，y），且过点
的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
，即
，
．

设
，则
．

即

整理，得

由①×③，②×④得

将
，
代入⑥，

得
． ⑦

将⑤代入⑦，得
．

所以点H恒在定直线4x﹣3y﹣12=0上．