上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）

数学(文)试卷

(2015年1月8日)

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集
，集合
，则
．

2．函数
的定义域是　　　　　　　．

3．已知直线
，则直线
与
的夹角的

大小是　　　　　　．

4．若三阶行列式
中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是
，则
(其中
是虚数单位，
)的值是 ．

5．已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：
的右焦点重合，则抛物线
的方程是　　　 　　．

6．若函数
是定义域为
的偶函数，则函数
的单调递减区间是　 　．

7．已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的正半轴重合，角
的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点
，则
＝　　　　　．(用数值表示)

8．已知二项式
的展开式中第3项的系数是
，数列

是公差为
的等差数列，且前
项和为
，则
＝　　　　　　．

9．已知某圆锥体的底面半径
，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为
的扇形，则该圆锥体的表面积是　　　　．

10．若从总体中随机抽取的样本为
，则该总体的标准差的点估计值是 ．

11．已知
，若
是函数
的零点，则
四个数按从小到大的顺序是　　 　　　(用符号
连接起)．

12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为　　　　　　(用数值作答)．

13．已知
，定义：
表示不小于
的最小整数．如

. (理科)若
，则正实数
的取值范围是 ．

(文科) 若
，则实数
的取值范围是 ．

14． 已知点
是
所在平面上的两个定点，且满足

　
,若
,则正实数
= 　　　 .

二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．给定空间中的直线l及平面
，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的 [答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

16．已知向量
，则下列能使
成立的一组向量
是 [答] ( )．

　　　A．
　　　　　B．
　

　　　C．
　　　　　D．

17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] ( )．

　A．4 B． 5 C． 6 D． 7

18．已知

，
，定义：
，
．给出下列命题：

(1)对任意
，都有
；

(2)若
是复数
的共轭复数，则
恒成立；

(3)若

，则
；

(4)对任意
，结论
恒成立，则其中真命题是[答]( 　　)．

A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4)　 C．(2)(4) D．(2)(3)

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题

卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体
中，
，
分别是所在棱
的中点，点
是棱
上的动点，联结
．如图所示．

(1)求异面直线
所成角的大小(用反三角函数值表示)；

(2)求以
为顶点的三棱锥的体积．

20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知函数
．

(1)求函数
的单调递增区间；

(2)在
中，内角
所对边的长分别是
，若
，

求
的面积
的值．

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

　　已知函数
，函数
是函数
的反函数．

(1)求函数
的解析式，并写出定义域
；

(2) 设函数
，试判断函数
在区间
上的单调性，并说明你的理由．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．

定义：若各项为正实数的数列
满足
，则称数列
为“算术平方根递推数列”.

已知数列
满足
且
点
在二次函数
的图像上.

(1)试判断数列

是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

(2)记

，求证：数列
是等比数列，并求出通项公式
；

(3)从数列
中依据某种顺序自左至右取出其中的项
，把这些项重新组成一个新数列
：
.若数列
是首项为
，公比为
的无穷等比数列，且数列
各项的和为
，求正整数
的值．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

在平面直角坐标系中，已知动点
，点
点
与点
关于直线
对称，且
.直线
是过点
的任意一条直线．

(1)求动点
所在曲线
的轨迹方程；

(2)设直线
与曲线
交于
两点，且
，求直线
的方程；

(3)设直线
与曲线
交于
两点，求以
的长为直径且经过坐标原点
的圆的方程．

数学试卷(文)

参考答案和评分标准(2015年1月8日)

说明：

1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

一、填空题

1．
； 8．
；

2．
； 　　　　　　　 9．
；

3．
； 10．
；

4．
； 11．
；

5．
； 12．
；

6．
； 13．
；

7．
　； 14．
．

二、选择题：　15．B　　　16．C　　　17．A　　　18．C

三、解答题

19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

解(1)联结
，在长方体
中，有
.

又
是直角三角形
的一个锐角，

∴
就是异面直线
所成的角.

由
，可算得
.

∴
，即异面直线
所成角的大小为
.

(2)由题意可知，点
到底面
的距离与棱
的长相等．

∴
．

∵
，

∴
． 　　　　　 　

20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

解(1)∵
，

∴
.

由
，解得
.

∴函数
的单调递增区间是
.

(2)∵在
中，
，

∴
解得
.

又
，

∴
.

依据正弦定理，有
.

∴
.

∴
.

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

解(1)
，

.又
，
.

.

由
，可解得
.

，
.

(2) 答：函数
在区间
上单调递减.

理由：由(1)可知，
.

可求得函数
的定义域为
.

对任意
，有
，

所以，函数
是奇函数.

当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减，

于是，
在
上单调递减.

因此，函数
在
上单调递减.

依据奇函数的性质，可知， 函数
在
上单调递减.