于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十

（满分100分，60分钟）2014.12.22

一．选择题（每小题5分，满分15分）

1、点P在直径为的球面上，过P作两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这3条弦长之和的最大值是(　　)

A. B．6 C. D．

2、已知点
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
，
两点，若
是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

3、如图，D、E是△ABC边AB、AC上的点，已知AB=3AD，AE=2EC，BE交CD于点F，点P是△FBC内（含边界）一点，若
=λ
+μ
，则λ+μ的取值范围是（　　）

A． [
，1] B． [
，1] C． [1，
] D． [1，2]

二、填空题（每小题5分，满分15分）

4、 △ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且
，则△ABC的面积S=　　．

5、四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值是

6、在直角坐标系内，点
实施变换
后，对应点为
，给出以下命题：

①圆
上任意一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是圆
；

②若直线
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹方程仍是
则
；

③椭圆
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线
：
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹是曲线
，
是曲线
上的任意一点，
是曲线
上的任意一点，则
的最小值为
.

⑤曲线C；
（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为
．

以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号）.

三、解答题（满分70分）

7、本题满分10分

已知命题p：方程
表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线
的离心率
，若
为真，
为假，求
的取值范围.

8、本题满分20分

在如图所示的几何体中，四边形
为平行四边形，
，

⊥平面
，
，
，
，
.

（Ⅰ)若
是线段
的中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）若
,求二面角
的大小．

9、本题满分20分

设椭圆
：
的左、右焦点分别为
，上顶点为A，以
为圆心
为半径的圆恰好经过点A且与直线
相切

(1）求椭圆
的离心率；

(2）求椭圆
的方程；

(3）过右焦点
作斜率为K的直线与椭圆C交于M、N两点，在
轴

上是否存在点
使得
以为邻边的平行四边形是菱形，

如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由。

10、本题满分20分

已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
是首项为
，公比为
的等比数列，且满足
，其中
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若数列
与数列
有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列
，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列
的前项之和为
，求证：

.

于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十

参考答案2014.12.22

1、D[解析]　方法一：估算法：设3条弦长分别为a，b，c，且a＝2b，则根据条件可知6＝a2＋b2＋c2＝5b2＋c2，且a＋b＋c＝3b＋c，取b＝c＝1时，a＋b＋c＝4，说明最大值不小于4，可排除A，C；若a＋b＋c＝6，与6＝5b2＋c2联立，方程组无解，所以排除B，故应选D.

方法二：直接法：设3条弦长分别为a，b，c，且a＝2b，则根据条件可知6＝a2＋b2＋c2＝5b2＋c2，

设b＝cos θ，c＝sin θ(0<θ<)，则a＋b＋c＝3b＋c＝cos θ＋sin θ＝sin(θ＋φ)(其中tan θ＝)，所以当θ＋φ＝时，取最大值为.

2、C 解：根据题意，可得|AB|=
，|F1F2|=2c，由双曲线的对称性，可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角，即|AF1|＞|F1F2|即可．∴不等式
，化简得c2﹣a2＞2ac，

两边都除以a2，可得e2+2e﹣1＞0，解之得e∈
，负值舍去．

3、C．解：如下图，在阴影区域任找一点P，连接BP，并延长交AC于G，设
，
则：

，AG=（m+1）AE，∴
=

=
，∴λ+μ=m（1﹣n）+1

∵
，∴
，∴
，下面求P与B，E，C重合的情况．

P在B点时：
，∴λ+μ=1； P在B点时：
，∴λ+μ=
；

P在F点时：过E作EH∥AB，由条件知，
，∴
，∴
．

∴
，∴λ+μ=1，综上得λ+μ的取值范围是：[1，
]．

4、
解：如图，
，则
．易得OA⊥OB，

且
，所以
．

5、4.解：画出图形如下，作BE⊥AD于E，连接CE.结合BC⊥AD，BC∩BE＝B，

得AD⊥平面BCE. 所以CE⊥AD.易知BE＝CE，所以四面体ABCD的体

积为V＝S△BCE·AD＝××2××4＝.在△ABD中，

AB＋BD＝2>AD＝4，所以AD边上的高BE等于以AD为焦点，长

轴为2的椭圆上的点到x轴的距离，其最大值刚好是点B在短轴端

点的时候得到，即BE≤＝＝，

所以V＝≤＝4.即四面体ABCD的体积的最大值是4.

6、①③④⑤ 解：①圆x2+y2=r2（r≠0）上任意一点实施变换f后

显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2（r≠0）；∴①正确

②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，互换x，y后，对应点的轨迹方

程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b，那么k=±1且b=0

③椭圆

=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹：
（a＞b＞0）

那么对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，故③正确

④曲线C：y=﹣x2+2x﹣1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C1：x=﹣y2+2y﹣1（x＞0）将y=x向下平移
个单位得到直线y=x
，那么直线y=x
与y=﹣x2+2x﹣1（x＞0）相切，那么y=x与直线y=x
的距离是
，利用对称性可知，则|MN|的最小值为
．故④正确

对于⑤，令g（x）=x﹣（lnx﹣x）=2x﹣lnx（x＞0）．
．

当x∈（0，
）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈（
，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．所以g（x）在（0，+∞）上有极小值，也是最小值．

最小值为
．所以曲线y=1nx﹣x（x＞0）上的点到直线y=x的距离的最小值为
．由对称性可知，曲线y=1nx﹣x（x＞0）上的点与其关于直线y=x的对称曲线上的点的最小值为
，即为
．所以⑤正确．

7、本题满分10分

解：将方程
改写为
，只有当
即
时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于
；

因为双曲线
的离心率
，所以
，且1
，解得
，

所以命题q等价于
；

若p真q假，则
； 若p假q真，则

综上：
的取值范围为

8、本题满分20分

解：（I）证法一：因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，
，

所以
∽
由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，
在
中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，

因此GM//FA。又
平面ABFE，
平面ABFE，

所以GM//平面AB。

证法二：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，
，

所以
∽
由于AB=2EF，

因此，BC=2FC，取BC的中点N，连接GN，

因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN//FB，

在
中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN//AB，因为

所以平面GMN//平面ABFE。又
平面GMN，所以GM//平面ABFE。

（II）解法一：因为
，又
平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直，分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，

不妨设
则由题意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），

E（0，0，1），所以

又
所以

设平面BFC的法向量为
则

所以
取
所以

设平面ABF的法向量为
，则

所以
则
，所以

因此二面角A—BF—C的大小为

解法二：

由题意知，平面
平面ABCD，取AB的中点H，连

接CH，因为AC=BC，所以
，则
平面ABFE，

过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则

所以
为二面角A—BF—C的平面角。

由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE中，连接FH，则
，又

所以
因此在
中，

由于
所以在
中，

因此二面角A—BF—C的大小为

9、本题满分20分

解：（1）因为圆
经过点A且半径为2C，所以
，根据椭圆的几何性质
，所以
， 所以

(2）因为以点
为圆心以
为半径的圆与直线
相切，所以
，即
，因为
，所以
，又因为
，所以
，所以
所以椭圆的方程为

(3）由（2）知
,所以设
所以
代入得

设
，
，则
，

由于菱形对角线垂直，则
，而
所以
即
，所以
所以
，由已知条件可知
且
，所以
，所以

故存在满足题意的点P且
的取值范围是
.

10、本题满分20分

解：（Ⅰ）由题设
. 由已知
，所以
.又b＞0，所以a＜3. 因为
，则
.又a＞0，所以b＞2，从而有
. 因为
，故
.

（Ⅱ）设
，即
.因为
，则
，

所以
.因为
，且b∈N*，所以
，即
，且b＝3.

故
.

（Ⅲ）由题设，
.

当
时，
，当且仅当
时等号成立，所以
.

得
.

因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则

.