2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科）

2015.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知
，则
__ ___．

2．若实数
满足
，则
的最小值为 ．

3．设
是虚数单位，复数
满足
，则
．

4．函数
的反函数
．

5．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

．

6．若正四棱柱
的底面边长为
，高为
，则异面直线
与
所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．

7．已知无穷等比数列
的各项和为1，则首项
的取值范围为 ．

8．若全集
，不等式
的解集为
，则
= ．

9．设数列
的前
项和为
，若
，
，则
的通项公式为 ．

10．已知圆
，方向向量
的直线
过点
，则圆
上的点到直线
的距离的最大值为 ．

11．如图：在梯形
中，
且
，
与
相交于
，设
，
，用
表示
，则
= ．

12．已知函数
，将
的图像向左平移
（
）个单位后得到函数
的图像，若
的图像上各最高点到点
的距离的最小值为
，则
的值为 ．

13．在平面直角坐标系中，对于函数
的图像上不重合的两点
，若
关于原点对称，则称点对
是函数
的一组“奇点对”（规定
与
是相同的“奇点对”）．函数
的“奇点对”的组数是 ．

14．设集合
，那么集合A中满足条件“
”的元素个数为 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．若
是关于
的实系数一元二次方程
的一个复数根，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

16．已知直线
和平面
，无论直线
与平面
具有怎样的位置关系，在平面
内总存在一条直线与直线
（ ）

（A）相交 （B）平行 （C）垂直 （D）异面

17．若函数
的图象如右图所示，（其中
为常数）

则函数
的大致图象是（ ）



18．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有
类
，分别编号为
，买家共有
名
，分别编号为
．若
，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．

已知函数
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
．

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
．

（1）若函数
为奇函数，求
的值；

（2）若函数
在
上为减函数，求
的取值范围．

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，某传动装置由两个陀螺
组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的
，且
的轴相互垂直，它们相接触的直线与
的轴所成角
．若陀螺
中圆锥的底面半径为
．

（1）求陀螺
的体积；

（2）当陀螺
转动一圈时，陀螺
中圆锥底面圆周上一点
转动到点
，求
与
之间的距离．

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆
的右焦点为
，左顶点为
，点
，
为坐标原点．

（1）若
是椭圆
上任意一点，
，求
的值；

（2）设
是椭圆
上任意一点，
，求
的取值范围；

（3）过
作斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，交
轴于点
，若
，
，试探究
是否为定值，说明理由．

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知有穷数列
各项均不相等，将
的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列
，称
为
的“序数列”．例如数列：
满足
，则其序数列
为
．

(1)若
，
且
，写出数列：
的序数列并说明理由；

(2)求证：有穷数列
的序数列
为等差数列的充要条件是有穷数列
为单调数列；

(3) 若项数不少于5项的有穷数列
、
的通项公式分别是
(
)，
(
)，且
的序数列与
的序数列相同，求实数
的取值范围．

文科参考答案

填空题：（每题4分）

1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.

选择题：（每题5分）

15. A 16. C 17. D 18. C

解答题

19、解：（1）
，
……………………..2’

; ……………………..4’

（2）
，

，……………………..6’

，
，……………………..8’

又
，
， ……………………..10’

．……………………..12’

20、解：（1）
对一切的
成立，……………………..4’

所以
……………………..6’

（2）若
，则函数
在
单调递增（舍）……………………..8’

当
时，令
，……………………..9’

则函数
在
上单调递减……………………..10’

所以
，……………………..13’

即
……………………..14’

21、解：（1）设陀螺
圆锥的高为
，则
，即
……………………..2’

得陀螺
圆柱的底面半径和高为
……………………..3’

……………………..5’

……………………..7’

……………………..8’

（2）设陀螺
圆锥底面圆心为
，

则
，……………………..10’

得
……………………..12’

在
中，
……………………..14’

22、解：（1）
，

得
……………………..2’

，即
……………………..4’

（2）设
，则

……………………..5’

……………………..6’

由
，得
……………………..7’

当
时，
最大值为
；……………………..8’

当
时，
最小值为
；……………………..9’

∴综上所述：
的取值范围为
……………………..10’

（3）由题，得
，
，
，

直线
的方程为
，则
，

由
，得
，……………………..12’

故
，
……………………..13’

由
得
，

即
，同理
……………………..14’

所以

即
为定值……………………..16’

23、解：(1)因为
且
，

所以
，……………………..2’

……………………..4’

故数列
的序数列
；……………………..5’

(2)充分性：因为数列
是单调数列时，
或
，

所以其序数列为
或
均为等差数列；……………………..8’

必要性：当数列
的序数列为等差数列时，其序数列必为
或
，所以有
或
，

所以数列
为单调数列；……………………..11’

(3)因为
，……………………..13’

当
时，易得
，当
时，
，

又因
，
，
，
，

即
，

故数列