上海市嘉定区2015届高三第一次质量调研（一模）

数学（理）试题

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设
是虚数单位，则
__________．

2．函数
的定义域是________________．

3．已知直线
垂直于直线
，则直线
的一个法向量
___________．

4．已知
，
，则
____________．

5．为了解
名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为
的样本，则分段的间隔为______________．

6．若椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则
__________．

7．若圆锥的侧面积是底面积的
倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．

8．将函数
的图像向左平移
（
）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则
的最小值为______________．

9．设无穷等比数列
的公比为
．若
，则
________．

10．△
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
，
，则
___________．

11．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是___________．

12．设正数
、
满足
，则
的最小值是____________．

13．若函数
满足：①在定义域
内是单调函数；②存在
（
），使
在
上的值域为
，那么
叫做对称函数．现有
是对称函数，则实数
的取值范围是_______________．

14．设数列
是等差数列，其首项
，公差
，
的前
项和为
，且对任意

，总存在

，使得
．则
_________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“
”是“
”的…………………………………………………（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

16．设
、
是关于
的方程
的两个不相等实根，则过
、
两点的直线与双曲线
的公共点个数是…………………（ ）

A．
B．
C．
D．

17．定义在区间
上的函数
满足：①
；②当
时，
，则集合
中的最小元素是……………………（ ）

A．
B．
C．
D．

18．如图，圆
的半径为
，
是圆上的定点，
是圆上的动点，

角
的始边为射线
，终边为射线
，过点
作直线
的垂线，

垂足为
，将点
到直线
的距离表示为
的函数
，则

=
在
上的图像大致为………………………………………………………（ ）

A． B． C． D．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．

已知
，向量
，
，
．

（1）求
的单调递增区间；

（2）若
是第二象限角，
，求
的值．

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，在直三棱柱
中，
，
，点
、
分别为棱
与
的中点．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成角的大小．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知点
，椭圆
：
（
）的长轴长为
，
是椭圆的右焦点，直线
的一个方向向量为
，
为坐标原点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点，当△
的面积
最大时，求
的方程．

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知函数
（
）．

（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；

（2）设
，问函数
的图像是否关于某直线
成轴对称图形，如果是，求出
的值；如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数
的图像关于某直线
成轴对称图形”的充要条件为“函数
是偶函数”）

（3）设
，函数
，若函数
与
的图像有且只有一个公共点，求实数
的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列
、
的各项均为正数，且对任意
，都有
，
，
成等差数列，
，
，
成等比数列，且
，
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）求数列
、
的通项公式；

（3）设
，如果对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

2014学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷参考答案与评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分）

1．
2．
3．
4．

5．
6．
7．
8．

9．
10．
11．

12．
13．
14．

第14题详解：
，因为对任意
，存在
，使得
，即
，取
，得
，
，

因为
，所以
，故
，
．

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．A 16．D 17．C 18．B

三．解答题（本大题满分74分）

注：解答题评分标准所给的是各步骤的累加分，与参考答案不同的解法可酌情给分．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．

（1）
，……（2分）

由
（
）， …………（4分）

得
的单调递增区间是
（
）． …………（5分）

（2）由已知得，
，…………（2分）

即
， ………………（3分）

所以，
，………（4分）

若
，则
，所以
；……………（5分）

若
，则
，
．…………（6分）

综上，
的值为
或
． …………（7分）

（分类得到2个答案，不写最后一步可不扣分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

（1）
． ……（5分）

（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）

（2）取
中点
，联结
，
，则
∥
， ………（1分）

所以，
是异面直线
与
所成的角（或其补角）， …………（2分）

在△
中，
，
， ………………………（4分）

所以，
，故
． ……（6分）

所以，异面直线
与
所成角的大小为
． ………………………（7分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）设
，直线
的点方向式方程为
， ………………（2分）

令
，得
，即
， ………………………………………（3分）

由已知，
，所以
． ………………………………………（5分）

所以椭圆
的方程为
． ………………………………………（6分）

（2）由题意，设直线
的方程为
，

将
代入
，得
， …………（1分）

当△
，即
时，直线
与椭圆
相交， ……………（2分）

设
，
，则
，
， ………（3分）

所以

，

又点
到直线
的距离
，所以△
的面积
．

设
，则
，
， ………………（5分）

因为
，所以
，当且仅当
，即
时，
取最大值
．……（7分）

所以，当△
的面积
最大时，直线
的方程为
． ……………（8分）

（直线方程用其他形式也可以）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

（1）
，

若
是偶函数，则
，即
， …………（1分）

所以
对任意实数
成立，所以
； …………………（2分）

若
是奇函数，则
，即
，………（3分）

所以
对任意实数
成立，所以
。 …………………（4分）