黄冈市2015年高三年级元月质量检测

文　科　数　学

2015.1.12

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1．设集合
，
，全集
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．下列各选项中，正确的是（　　）

A．若
为真命题，则
为真命题

B．命题“若
，则
”的否命题为“若
”

C．已知命题
，则
为：
使得

D．设
是任意两个向量，则“
”是“
”的充分不必要条件

3．已知函数
下列结论错误的是（　　）

A．函数
的最小正周期为
B．函数
是偶函数

C．函数
的图象关于直线
对称 D．函数
在区间
上是增函数

4．设等比数列
中，公比
，前n项和为
，则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

5．若
，则函数
有零点的概率为　　　A

A．
B．
C．
D．

6．平行四边形
中，AC为一条对角线，若
，则
等于（　　）

A．6 B．8 C．－8 D．－6

7．已知M是
内一点且
，
，若
的面积分别为

，则
的最小值是（　　）

A．20 B．18 C．16 D．19

88（1）已知函数
是偶函数，
且当
时，其导函数
满足
，若
，则　　　B

A．
B．

C．
D．

9．点P是双曲线
左支上一点，其右焦点为
，若M是线段FP的中点且M到坐标原点距离为
，则双曲线离心率e的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，若函数
上的最大值和最小值分别记为M、m，则M－m的值为 C

A．8 B．
C．4 D．

二、填空题（本大题有7个小题，每题5分，共35分）。

11．设幂函数
的图象经过点
，则
　　 。

12．满足
（i为虚数单位）的复数
。

13．已知向量
满足
，
，

则向量
方向上的投影为 　。

14．执行如图的程序框图，如果输入
，

那么输出的S的最大值为 。

15．已知抛物线
上一点
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为 。

16．若函数
具有奇偶性，则
，函数
的单调递减区间是 。

17．对于任意正整数
，定义
，对于任意不小于2的正整数
，设
，
　
，
。

三、解答题（本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明证明过程演算步骤。

18．（12分）函数

（Ⅰ）求
的值域和单调递减区间；

（Ⅱ）在
中角
所对的边分别是
，且
，
，
，求
的面积。

19．（12分）已知数列
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求适合方程
的正整数n的值。

20．（13分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人。

（Ⅰ）求第七组的频率；

（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
，事件
，求

21．（14分）已知动点
到定点
的距离与到定直线
的距离之比为

（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；

（Ⅱ）过圆
上任一点
作轨迹W的两条切线
，求证：
；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）证明的结论，写出一个一般性结论（不需证明）。

21．（本题满分14分）设椭圆M：
（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）若直线y=
x+m交椭圆M于A、B两点，
为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

22．（14分）已知函数
处的切线l与直线
垂直，函数

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值。

黄冈市2015年高三年级元月质量检测

文科数学参考答案

一、选择题

CDCAA BBBAC

二、填空题

11、
12、
13、
14、2

15、
16、1 17、①
，②－45

三、解答题

18、解：（Ⅰ）
………………………………………………（3分）

当
，
，
，

所以
值域为
……………………………………………（4分）

，

递减区间是
……………………………………（6分）

（Ⅱ）
，
，
，
………（8分）

因为
，
，

（舍），

在
中，
，
…………………………（10分）

………………………………（12分）

19、解：（Ⅰ）
时，
………………………………（2分）

时，
，
……（4分）

为首项，
为公比的等比数列，
…………………（6分）

（Ⅱ）
………………（8分）

……（11分）

…………………………………………………………………（12分）

20、解：（Ⅰ）第六组的频率为
，……1分

第七组的频率为
…………（3分）

（Ⅱ）易知中位数位于
之间设为m，则有

，

身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人…………………………（8分）

（Ⅲ）设第六组四人分别为
，

第八组二人分别为
，则从六人中任取两名共有15种不同取法

，共有7种情况
，有0种

故
…………………………………………………………………………（13分）

21解：（Ⅰ）双曲线的离心率为
………（1分），

则椭圆的离心率为
………（2分）， 2a=4，………（3分）

由
?
，故椭圆M的方程为
． ………（5分）

（Ⅱ）由
，得
，………（6分）

由
，得﹣2
＜m＜2

∵
，
．………（7分）

∴
=
………（9分）

又P到AB的距离为
．………（10分）

则

， ………（12分）

当且仅当
取等号 ………（13分）

∴
． ………（14分）

21、解：（Ⅰ）
，

垂直，
，
……………………（3分）

（Ⅱ）

………………………………………………（5分

设
，则
只须

　
的取值范围为
……………………………………………………………………（8分）

　（Ⅲ）令

………………………………………………（10分）

，

又

，令

，
…………………………（12分）

故
的最小值为
…………………………………………………（14分）

命题人：武穴中学　朱校栋 唐　琪

审题人：黄梅一中 邓晓峰

黄州区一中 杨安胜　

黄冈中学 胡华川

黄冈市教科院 丁明忠