2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）理科数学（二）

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为，集合
，
，则
（cRB）= （ ）

A．
B．

C．
D．

2．函数
的定义域为 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．若
，是第三象限的角，则
（ ）

A．
B．

C． D．

4．“
”是 “
”的 （ ）

A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；

C．充要条件； D．既不充分也不必要条件.

5．平面向量
，

，且
，则
（ ）

A．
B．

C． D．

6．已知
，函数
在
上单调递减，则的取值范围是 （ ）

A．

B．

C．
D．

7． 将边长为的正方形
沿对角线
折起，使
为正三角形，则三棱锥
的体积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知
，若
的最小值是，则
（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

9．已知椭圆
的中心为，右焦点为、右顶点为，直线
与轴的交点为，则
的最大值为 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，
，若方程
有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．函数
的最小正周期是 ．

12．已知
，则不等式
的解集是 ．

13．已知等差数列
前项和为
，且满足
，则数列
的公差为 ．

14．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中
是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ．

15．直线
与直线
交于一点，且
的斜率为
，
的斜率为
，直线
、
与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为 ．

16．已知非零向量
，
满足
，且
与
的夹角为30°，则
的取值范围是 ．

17. 已知函数
，当
时，
恒成立，则实数的取值范围为 ．

三、解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）已知函数

的部分图像如图所示．、
分别是图像上的一个最高点和最低点，为图像与轴的交点，且四边形
为矩形．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）将
的图像向右平移
个单位长度后，得到函数
的图像．已知
，
，求
的值．

19．（本小题满分14分）

设数列
的首项
，前项和为
， 且满足

.

（Ⅰ）求
及
;

（Ⅱ）求证：
．

20．（本小题满分14分）

如图，
中，
，四边形
是矩形，
，平面
平面
，、分别是
、
的中点，
与平面
所成角的正弦值为
.

（Ⅰ）求证：
∥底面
；

（Ⅱ）求
与面
的所成角．

21．（本小题满分15分）

已知函数
（
且
）.

（Ⅰ）若
，试求
的解析式；

（Ⅱ）令
，若
，又
的图像在轴上截得的弦的长度为，且
，试比较、的大小.

22．（本小题满分15分）

如图，已知抛物线：
，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（Ⅰ）若线段
的长为，求直线的方程；

（Ⅱ）在上是否存在点
，使得对任意直线，直线
，
，
的斜率始终成等差数列，若存在求点
的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案（二）

1．C【解题思路】
，
，所以RB
，于是
（RB）=
．∴选．

2．D【解题思路】由
，得
，
，且
．选．

3．B【解题思路】由题意
，因为是第三象限的角，所以
，

因此
．

4．A【解题思路】
，而
，如
，则
不成立，所以
”是 “
”的充分不必要条件．选．

5．B【解题思路】
．选．

6． A【解题思路】结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取
，
，其减区间为

，显然


，排除
；取
，
，其减区间为

，显然


，排除．选．

7．D【解题思路】取
的中点，连接
，
，由题意，

，因为
为正三角形，

，
，

．选．

8．B【解题思路】由已知得线性可行域如图所示，则

的最小值为，若
，则
为最小

值最优解，∴
，若
，则
为最小值最优解，

不合题意，故选B．

9．【解题思路】
.慢 故选．

10．【解题思路】方程
有三个不同的实数根，则
，设其三个根为
，且
，则
，
，且

，又由题意知
，
，解得
，则
，故应选．

11． 【解题思路】
，所以最小正周期
．

12．
【解题思路】由
，得
，

所以不等式

转化为
或
，解得
．

13． 【解题思路】∵
，∴
，

∴
，又
，∴
．

14．
【解题思路】由题意侧视图三角形的底边长为
，高为
，

所以其面积为
．

15．
，
【解题思路】设直线
与直线
的倾斜角为，
，因为
，所以，
均为锐角，由于直线
、
与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）
时，
，有
，因为
，解得
；（2）
时，
，有
，因为
，解得
．

16．
【解题思路】如图所示，
，
，

，
，由图可知，当
时，

最小，此时
，所以
的取值范围是
．

17．
【解题思路】当
时，
在
上递增，∴当
时，
不恒成立；当
时，
在
上递减，在
上递增，∵当
时，
恒成立，∴
或
，解答
．

18．【解题思路】

（Ⅰ）设函数
的最小正周期为，则
、
，（2分）

∵四边形
为矩形，∴
，∴
，∴
．（5分）

∴
，∴
． （7分）

（Ⅱ）
， （8分）

∵
，∴
． （10分）

又
，∴
，∴