一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，集合
，则
=…………（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
为奇函数,且当
时,
则
…………（ ）

A．
B．
C． D.．

3．在△
中，“
”是“
”的………………………………（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4、函数
（其中
）的图象如下面右图所示，则函数
的图象是………………………………………………………………………………（ ）

5．若
为等差数列,
是其前项和,且S15 =
,则tan
的值为………………( )

A．
B．
C．
D．

6.设
为平面，
为直线，给出下列条件：

①
②

③
④

其中能推出
的条件是……………………………………………………… （ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

7．若非零向量a，b满足︱a-b︱=︱b︱，则…………………………………………( )

A．︱2a︱＜︱a-2b︱ B．︱2b︱＜︱a-2b︱

C．︱2a︱＞︱a-2b︱ D．︱2b︱＞︱a-2b︱

8．过点（
，0）引直线
与曲线
交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线
的斜率等于………………………………………………（ ）

A． B．
C．
D．

9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线的左支上，且
，则此双曲线离心率的最大值为………………（ ）

A．
B．
C． D．

10．若对任何
，不等式
恒成立，则一定有…………（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11.设函数
若
,则实数=________．

12．若
，则
___________．

13.设抛物线
的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

14.已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三形，

其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为 ．

15．已知实数、满足
，

且
，则的最小值为 ．

16．已知
，若实数
满足
，则
的最小值为 ．

17．定义在

①
；②当
时，
,则集合
中的最小元素是_________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18、（本题满分14分）已知向量
，
，函数

（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，
，且
，求
的值．

19．（本题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，

BD交AC于点E，F是PC中点，G为EC中点．

（1）求证：FG//平面PBD；

（2）当二面角B—PC—D的大小为
时，

求FG与平面PCD所成角的正切值．

20．(本题满分15分)

已知数列
满足
.

（1）若
，求证：数列
是等比数列并求其通项公式；

（2）求数列
的通项公式；

（3）求证：
+
+…+

.

21．（本题满分14分）

已知椭圆
经过点
，离心率为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线
与椭圆
交于
两点，点
是椭圆
的右顶点．直线
与直线
分别与轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

22．（本题满分15分）已知函数
.

（1）若函数
为偶函数，求的值；

（2）若
，求函数
的单调递增区间；

（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

2014学年第一学期高三期中考试

数学（理科）参考答案 2014.11

的单调递减区间
， ……… 7分

（2）

是三角形内角，∴
即：
………9分

∴
即：
． ………10分

将
代入可得：
，解之得：

,
………13分

,∴
，
． ………14分

19．（本小题满分14分）

.

(1) 连接PE，G.、F为EC和PC的中点，
FG//平面PBD………（5分）

（2）以AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴，建立如图空间直角坐标系。

设AB=1，AP=t 则
,
,
………（7分）

∴
∴平面BPC的一个法向量为

又
∴平面DPC的一个法向量为
…（9分）

二面角B—PC—D的大小为
，∴｜
｜=｜
｜=

∴
………（11分）

∴
∴FG与平面PCD所成角
的正弦值
，………（13分）

∴
………（14分）

20．(本小题满分15分)

解：（Ⅰ）

………………2分

又

所以
是首项为
，公比为4的等比数列，且
……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，……………………7分

………………9分

所以
，或
………………10分

（Ⅲ） ∴

…………………………………12分

当n＝2k时，

当n＝2k－1时，

<
<3

∴＋＋…＋＜3．…………………………………15分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意得
，解得
，
．

所以椭圆
的方程是
． …………………4分

（2）以线段
为直径的圆过轴上的定点.

由
得
．

设
，则有
，
． 6分

又因为点
是椭圆
的右顶点，所以点
．

由题意可知直线
的方程为
，故点
．

直线
的方程为
，故点
． ……8分

若以线段
为直径的圆过轴上的定点
，则等价于
恒成立．………………9分

又因为
，
，

所以
恒成立．

又因为


，

，

所以
．解得
．

故以线段
为直径的圆过轴上的定点
． …………… 14分

22．（本题满分15分）已知函数
.

（1）若函数
为偶函数，求的值；

（2）若
，求函数
的单调递增区间；

（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

【答案解析】（1）a=0；（2）（﹣∞，﹣1]和
（3）

解析：（1）解法一：因为函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|

又函数y=f（x）为偶函数，所以任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，

即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立．………………………………..（2分）

所以|x﹣a|=|x+a|恒成立，

两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2

所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…………………………………（4分）

解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，

所以f（﹣1）=f（1），得|1﹣a|=|1+a|，得：a=0

所以f（x）=﹣x2+2|x|，

故有f（﹣x）=f（x），即f（x）为偶函数………………………………….（4分）

（2）若
，则
．………………（5分）

由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和
……………………………（8分）

（3）不等式f（x﹣1）≥2f（x）化为﹣（x﹣1）2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|，

即：4|x﹣a|﹣2|x﹣（1+a）|≤x2+2x﹣1（*）对任意的x∈[0，+∞）恒成立．

因为a＞0．所以分如下情况讨论：

①0≤x≤a时，不等式（*）化为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即x2+4x+1﹣2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，

因为函数g（x）=x2+4x+1﹣2a在区间[0，a]上单调递增，

则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得
，

又a＞0所以
……………………………………………………………………………….（10分）

②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即x2﹣4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，

由①，
，知：函数h（x）=x2﹣4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，

则只需h（1+a）≥0即可，即a2+4a﹣2≥0，得
或
．

因为
所以，由①得
．………………………………（12分）

③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即x2+2x﹣3≥0对任意的

x∈（a+1，+∞）恒成立，

因为函数φ（x）=x2+2x﹣3在区间（a+1，+∞）上单调递增，

则只需φ（a+1）≥0即可，

即a2+4a﹣2≥0，得
或
，由②得
．…………（14分）

综上所述得，a的取值范围是
．………………………………..（15分）

【思路点拨】（1）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（﹣x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（﹣1）=f（1），化简即可，但必须检验．

（2）分x≥
，x
，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（3）先整理f（x﹣1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．