2014学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三

数学(文科)试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定的位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
　 D．

2．下列函数中，在区间
上为增函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知等比数列
前项的积为
，且公比
，若
,则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．命题
，命题
，则
是
成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

函数
（
）的图象如右图所示，为了得到

的图象，可以将
的图象（　　）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

6．若偶函数
对任意实数都有
，且在
上为单调递减函数，则（ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知函数
，则函数
的部分图象可以为 (　　)

A． B． C． D．

8．在正项等比数列
中，
为
与
的等比中项，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，函数
的零点分别为
，函数
的零点分别为
，则
的最小值为（ ?）

A．
B． C．
D．

10．若定义在上的函数
，其图像是连续不断的，且存在常数
,使得
对于任意的实数都成立，则称
是一个“
的相关函数”，则下列结论正确的是　(　　)

A．
是常数函数中唯一一个“
的相关函数”；

B．
是一个“
的相关函数”；

C．
是一个“
的相关函数”；

D．“
的相关函数”至少有一个零点。

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．设函数
,则
。

12．已知向量
、
满足
，
，且
，则
________。

13．设关于
的不等式组
表示的平面区域内存在点
满足
，则实数的取值范围是 。

14．设
,
，则
的最小值是 。

15．某地区预计
年的前个月内对某种商品的需求总量
（万件）与月份的近似关系式是
，则
年的第月的需求量
（万件）与月份的函数关系式是 。

16．在
中,角
所对的边分别是
,若
,则
的最小角的正弦值等于 。

17．如果函数
对定义域
内的任意两个不相等的实数
，都有
，则称函数
在定义域
内为“
”函数.给出函数：①
；②
；

③
；④
.以上函数为“
”函数的序号是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）

已知
,

（Ⅰ）当
时，求
；

（Ⅱ）若
,求实数的取值范围。

19．（本题满分14分）

已知函数
,其中
。

（Ⅰ）求
最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在锐角
中,内角
的对边分别为
，已知
,
，求
边上的高
的最大值。

20．（本题满分14分）

已知单位向量
夹角为锐角,且
最小值为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若向量
满足
，求
的最小值。

21．（本题满分15分）

已知等差数列
的公差不为零,
,等比数列
的前3项满足
。

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）设
…
，是否存在最大整数，使对任意的
，均有
总成立?若存在,求出的值；若不存在,请说明理由。

22．（本题满分15分）

已知二次函数
。

（Ⅰ）若
，且
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，有
.若对于任意的实数，存在最大的实数，使得当
时，
恒成立，试求用表示的表达式。

2014学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

高三年级数学（文科）参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

A

B

D

C

A

B

D

D



二、填空题：每小题4分，共28分.

11． 6 12．
13．
14.

15．
（注：未写的取值范围可视作正确）

16．
17． ①④

三、解答题：(第18、19、20每小题14分，21、22每题15分，共72分)

18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）



2分

得



5分

7分

（Ⅱ）由
,知

若
,解得
,即
;

若
,解集为;

若
,解得
，即



10分

由
分别求得
,或
,或



13分

14分

（注：也可用不等式恒成立求解）

19．解：（本题满分14分）

(Ⅰ)
，


3分

，

7分

(Ⅱ）由得



9分

由余弦定理得

12分

设BC边上的高为h，由三角形等面积法得

.

即
的最大值为
.


14分

20．（本题满分14分）

解：法一：（Ⅰ）由已知单位向量
成锐角,且
最小值为
，

则知向量
成
角,


4分

从而
.


7分

(Ⅱ）向量
的终点在以向量
的终点A,B为直径的圆上，且
,
11分

从而
.


14分

法二:建立坐标求解.由题可设
,


9分

又
代入坐标知
,

化简得M:
.


11分

而
,故问题转化为原点到圆M上一点的最小距离的平方,从而
.


14分

21．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）由已知可设公差为
，则有：

，联立解得：
，


3分

7分

（Ⅱ）数列
代入得
,

故
…




11分

假设存在整数使
成立,即