2014学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三数学(理科)试题

命题审核人:浦江中学 郑旭军 淳安中学 毛新华

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定的位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷．

选择题部分（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2.等比数列
中，若
，则

A．3　　 B．
　　 　C． 9　　　　D．

3.下列说法错误的是

A．若命题“
”为真命题，则“
”为真命题

B．若命题“
”为假命题，则“
”为真命题　

C．命题“若
”的否命题为真命题

D．命题“若
，则方程
有实根”的逆命题为真命题

4.命题
，命题
，则
是
成立的

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

5．
中,
，则

A．5 B．6 C．
D．8

6．设
为等差数列
的前项和，若
，则使
成立的最小正整数为

A.6 B．7 C．8 D．9

7．将函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图像向左平移个单位
，得到了一个偶函数的图像，则的最小值为

A．
　 B．
　 　C．
　　 　　D．

8.在
中,角
所对的边分别是
,若
,则
的最小角的正弦值等于

A．
B．
C．
D．

9.已知
，符号
表示不超过x的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则的取值范围是

10.已知函数
是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则
的值是

A．0 B．
C．1 D．

非选择题部分（共100分）

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11 .已知函数
,则
。

12.若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 。

13.设
,
，则
的最小值是 。

14.已知实数,满足条件
则
的最小值为 。

15.已知数列
满足
，且
，则该数列的通项公式
= 。

16.在平面直角坐标系
中，点
在角的终边上，点

在角
的终边上，且
=
.则
= 。

17.实数
满足
，则
的最小值是 。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本小题满分14分）已知
，
。

（Ⅰ）当
时，求和；

（Ⅱ）若
.求的取值范围.

19．(本小题满14分)已知单位向量
的夹角是钝角，当
时，
的最小值为
。

（I）若
，其中
，求
的最小值；

（II）若
满足
，求
的最大值.

20．(本小题满分15分）已知
的三内角
与所对的边
满足
。

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）如果用
为长度的线段能围成以
为斜边的直角三角形，试求实数的取值范围。

21．(本小题满分15分)各项均为正数的数列
的前项和
满足

，等比数列
。

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若
为正整数，且
，求所有可能的乘积
的和。

22(本小题满分14分）已知函数
。

（Ⅰ）设
，若
在
上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：存在
，使
。

2014学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

高三数学(理科)试题参考答案

最终定稿人： 浦江中学 郑旭军

一.选择题：CADBD CCABA

二.填空题：

11. -2 12.
13.
14. -1

15.
16.
17.

三.解答题：

18.解：（Ⅰ）



2分

4分

6分

（Ⅱ）由
知
，不等式
恒成立

分离得：




10分

14分

19.解：（Ⅰ）
的夹角为



2分

若
起点都在同一点O，则终点在同一直线
上


4分

则点O到直线
的距离为



6分

（Ⅱ）解法一：

以上述点O为原点，以
的方向为轴建立坐标系，

则
终点的轨迹方程是



11分

的最大值为2


14分

解法二：
　　　　　　　　　　　　


８分

１０分

　　　　　　　　　　　　　


１２分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


１４分

20.解：（Ⅰ）2bcosA-ccosA=acosC

2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC


3分

2sinBcosA=sin(A+C)=sinB

cosA=
A=



6分

（Ⅱ）
sin
A=sin
B+sin
C=
(1-cos2B)+
(1-cos2C)

=1-
cos2B-
cos(
)=1+
sin(2B-
)


11分

又0

1<



15分

21.解：（Ⅰ）



4分

7分

（Ⅱ）

=



10分

12分

15分

22.解：（Ⅰ）①当

只需
即可，
满足题意　　


2分

②当
即
时不合题意　　


４分

③当
即
时

只需
即可，
　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　


6分

（Ⅱ）解法一：

如果
中有一个不小于
，那么命题成立　　


8分

而
，

此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为

，　　

此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为
　　　　


12分

由于

故
至少有一个成立　　　　　　　


14分

解法二：

当
时，
显然成立 　　


8分

当
时，假设
恒成立

即