2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）理科数学（三）

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集
，集合
，集合
，则
（ ）

A．

B．

C．
D．

2．等比数列
的前项和为
，
，若
成等差数列，则
（ ）

A．7 B．8

C．16 D．15

3．“
”是“函数
在
上存在零点”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）

A．若
，
，且
，则

B．若
，
，
，则

C．若
，
，
，则

D．若
，
，
，则

5．将函数
的图像向左平移
个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．设变量
满足约束条件
，则
的最大值为 （ ）

A．
B．

C． D．

8．形如
的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数

有最小值，则当
时的“囧函数”与函数
的图像交点个数为________个． （ ）

A． B．

C． D．

9．已知抛物线
，圆
，过点作直线
，自上而下依次与上述两曲线交于点
（如图所示），则
． （ ）

A．等于1 B．最小值是1

C．等于4 D．最大值是4

10．对于函数
，若在定义域内存在实数，满足
，称
为“局部奇函数”，若
为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．双曲线
的两条渐近线的方程为 ．

12．已知定义在上的奇函数
是周期函数，最小正周期是．当
时，

，则
．

13．设角的终边上有一点
，则
．

14．在平行四边形
中，
，
60°，为
的中点．若
，则
的长为 ．

15．已知圆
，定直线
经过点
，若对任意的实数，定直线
被圆截得的弦长始终为定值，求得此定值等于 ．

16．设
为数列
的前项和，若

是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列
是首项为，公差为
的等差数列，且数列
是“和等比数列”，则
．

17．抛物线

绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 ．

三、解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

已知
.

（Ⅰ）若
的定义域为
，求
的值域；

（Ⅱ）在
中，
分别是
所对边， 当
，
时，求的最小值．

19．（本题满分14分）

在数列
中，
时，其前项和
满足：
.

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并用表示
；

（Ⅱ）令
，数列
的前项和为
求使得
对所有
都成立的实数的取值范围．

20．（本题满分15分）

如图，在
中，
°，
，
，，分别是
，
上的点，且
，
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
是
的中点，求
与平面
所成角的大小；

（Ⅲ）点是线段
的靠近点的三等分点，点是线段
上的点，直线
过点且垂直于平面
，求点到直线
的距离的最小值．

21．（本题满分15分）

设椭圆


的左、右焦点分别为
，
，上顶点为，过与
垂直的直线交轴负半轴于
点，且
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）若过、
、
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；

（Ⅲ）过
的直线
与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点
、
，则
的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分14分）

已知正项数列
中，
，点
在抛物线
上．数列
中，点
在经过点
，以
为方向向量的直线
上．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）若
，问是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对任意的正整数，不等式
成立，

求正数的取值范围．

参考答案（三）

1．D 【解题思路】
或
，经集合运算得
，故选D．

2．D 【解题思路】因为
成等差数列，故
，即
，


，
，故选D．

3．A 【解题思路】“函数
在
上存在零

点”

或
，故选A．

4．D 【解题思路】中
两直线的关系可能是相交、平行、异面，

故不正确；中
可平行、可异面，故不正确；
中，若
，

仍然有希望满足
，
，
，故不正确；故选D．

5．B【解题思路】由题
，向左平移
个单位后得到函数
的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍后得到函数
的图像，因其为偶函数，故
时，

．故选B．

6．B 【解题思路】由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．其中三棱柱的体积最小．三棱柱的高为3，底面为腰长是1的等腰直角三角形，所以表面积为
．故选B．

7．B 【解题思路】目标函数的可行域如图所示：设
，结合可行域知
，即
，表示开口向上的抛物线，且的值越大，抛物线的开口就越小．由图可知当抛物线经过点
时，
取到最大值．故选B．

8．C 【解题思路】因为函数

有最小值，故
．当
时，囧函数为
．在同一坐标系中画出“囧函数”与函数
的图象如图所示，易知它们有个交点，故选C．

9．A 【解题思路】　设直线
，代入抛物线方程，得
．设
，
，根据抛物线定义得
，
故
，
，所以
，而
，代入上式，得
．故选A．

10．B 【解题思路】
为“局部奇函数”，∴存在实数满足
，即

，

令
，则
，

在
上有解，

再令
，则
在
上有解．函数关于
的对称轴为
，①当
时，
，
，解得
；②当
时，则
，即
，解得
．综合①②，可知
．故选B．

11．
【解题思路】
，
，渐近线方程为
，即
．

12．
【解题思路】由题
．

13．
【解题思路】由任意角三角函数的定义得：
，

．

14． 【解题思路】
，

，

则
的长为．

15．
【解题思路】由题知圆心
，半径
，

弦长
，只需弦心距
为定值即可．设直线
，
，当
时，
为定值
．（直线
的斜率为
，即与圆心所在直线平行．）故定值
．

16．
【解题思路】由题意可知，数列
的前项和为
，前
项和为
，所以


．因为数列
是“和等比数列”，即
为非零常数，所以
．故

17． 【解题思路】根据题意过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴