2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）理科数学（一）

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．下列函数中，与函数
的奇偶性相同，且在（－∞，0）上单调性也相同的是（　　）

A．
B．

C．
D．

3．定义
，其中
为向量
与
的夹角，若
，
，
，则
等于 （　　）

A．－60 B．60

C．－60或60 D．6

4．直线

的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是 （　　）

A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0

C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0

5．已知
是等差数列
的前项和，
，
，设
为数列
的前项和，则
（ ）

A．2014 B．

C．2015 D．-2015

6．过点P（1，2）的直线，将圆形区域
分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．若将函数
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于y轴对称，则
的最小值是 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：

①若
,
,则
； ②若
,
,且
,则
；

③若
,
,则
； ④若
,
,且
,则
．

其中正确命题的序号是 （ ）

A．①④ B．②④

C．②③ D．①③

9．已知点
，点在曲线
上，若线段
与曲线
相交且交点恰为线段
的中点，则称点为曲线
与曲线
的一个“相关点”，记曲线
与曲线
的“相关点”的个数为，则 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知双曲线
的中心为O，左焦点为F，P是双曲线上的一点

且
，则该双曲线的离心率是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．定义在R上的偶函数
，当
时，
，则不等式
的解集是________________．

12．已知
，且
，则

=__________．

13．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为__________．

14．在平行四边形
中，
60°，
，
，为平行四边形内一点，且
，若
，则
的最大值为___________．

15．已知变量x，y满足约束条件
，若
恒成立，则实数的取值范围为________．

16．已知抛物线
的准线与双曲线
交于、两点，点为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．

17．已知一个数列
的各项是0或1，首项为0，且在第k个0和第k＋1个0之间有
个1，即0，1，0，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1， 1，0，…，则前2 015项中0的个数为____________ ．

三、解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

设函数

（Ⅰ）当
时，求
的值域；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，
，求
面积的最大值．

19．（本题满分14分）

已知函数
，其中

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若对任意
恒有
，试确定的取值范围．

20．（本题满分14分）

如图，
中，
是
的中点，
，
．将
沿
折起，使点与图中
点重合．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当三棱锥
的体积取最大时，求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段
上是否存在一点，使
与平面
所成的角的正弦值为
？证明你的结论．

21．（本题满分15分） 已知等差数列
中，
，公差
；数列
中，
为其前n项和，满足：

（Ⅰ）记
，求数列
的前项和
；

（Ⅱ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅲ）设数列
满足
，
为数列
的前项积，若数列
满足
，且
，求数列
的最大值.

22．（本题满分15分）

已知椭圆
经过点
，其离心率为
，设直线
与椭圆
相交于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知直线
与圆
相切，求证：
（
为坐标原点）；

（Ⅲ）以线段
为邻边作平行四边形
，若点
在椭圆
上，且满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围．

2015届新高考单科综合调研卷（理科数学）

参考答案（一）

1．C 【解题思路】
，
，所以
，故选C

2．D 【解题思路】
是偶函数，且在
上单调递增，故选D.

3．B 【解题思路】
，

所以
，
，故选B

4．B 【解题思路】
经过第一、二、四象限，故
，即
，但此为充要条件，因此，其一个必要不充分条件为
，故选B

5．C 【解题思路】
，
，又
，

所以公差
，
，

所以

=
=2015，故选C

6．A 【解题思路】要使面积之差最大，必须使过点P的弦最小，∴该直线与直线OP垂直，又
，所以直线的斜率为
，由点斜式可求得直线方程为
，故A

7．A 【解题思路】将函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象对应函数为
，又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，在
，即
，所以
的最小值为
，故选A

8．C 【解题思路】当
时，有
等多种可能情况，所以①不正确；当
时，
或
相交，所以④不正确，故选C

9．B 【解题思路】设
，则AB的中点为
，所以有
，即
，所以“相关点”的个数就是方程
解的个数，由于
的图象在轴上方，且是上增函数，
在
上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即
，故选B

10．D【解题思路】
，
，

，设双曲线另一个焦点为
，则在
中，由余弦定理可得
，又
，由双曲线定义得
，所以离心率
，故选D

11．
【解题思路】由偶函数性质可知
图象关于y轴对称，又
在
上单调递增，由图象可得
，解得

12．1【解题思路】利用两角和的正切公式得
，
，而

=

=
=
=1

13．
【解题思路】该空间几何体是一个四棱锥，

其直观图如图所示，其体积为

14．1 【解题思路】因为
，所以
，

即
，

又
，
，
，

所以
，

所以
，

所以
，

所以
的最大值为1，当且仅当
，
取等号

15．
【解题思路】易知
，不等式表示的平面区域如图所示，

设
，平面区域内动点
，则
，

当是
与
交点时，
的斜率最大，为

当是
与
交点时，
的斜率最小，为
，

由
且
得
，又
，所以

16．
【解题思路】抛物线焦点
，由题意
，且
并被轴平分，所以点
在双曲线上，得
，即
，

即
，所以
，

，故

17．10 【解题思路】依题意得，第k个0和它后面
个1的个数之和为，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公比的等比数列，该数列的前n项和等于
．注意到
，因此在题中的数列中，前2 015项中共有10个0

18．【解题思路】（Ⅰ）
=
，……3分

∵
∴
，由余弦曲线可得
的值域为
，……6分

（Ⅱ）由
，得
，又
，得
，

……………………………………………………………………………………………………9分

在
中，由余弦定理，得