2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）文科数学（一）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间为120分钟.

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．下列函数中，与函数
的奇偶性相同，且在（－∞，0）上单调性也相同的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是 （ ）

A．若m∥β，则m∥l　 B．若m∥l，则m∥β

C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β

4．已知
，
，
，
，则向量
在向量
上的投影为 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．若“0≤ x ≤4”是“（x－a）[x－（a＋2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 （ ）

A．（0，2） B．[0，2]

C．[-2，0] D．（-2，0）

6．在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a20＝60，则a10·a11的最大值等于 （ ）

A．3 B．6

C．9 D．36

7．已知圆
的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．若将函数
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于y轴对称，则
的最小值是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．抛物线
的焦点为,点
为该抛物线上的动点,又点
,则
的最小值是 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知点
，点在曲线
上，若线段
与曲线
相交且交点恰为线段
的中点，则称点为曲线
与曲线
的一个“相关点”，记曲线
与曲线
的“相关点”的个数为，则 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
，则不等式f（1[－2x）＜f（3）的解集是_____________.

12．已知
，且
，

则
=____.

13．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________.

14．已知变量x，y满足约束条件
，则
的

取值范围为__________________.

15．已知等差数列
的前项和为
，
，若对于任意的

自然数，都有
，则
=________________.

16．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为矩形内一点，且AP＝
，

若
，则
的最大值为_______.

17．已知抛物线
的准线与双曲线
交于、两点，点为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．

三、解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

设函数

（Ⅰ）求
的最小正周期及值域；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，求
的面积．

19．（本题满分14分）

已知函数
，其中

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若对任意
恒有
，试确定的取值范围．

20．（本题满分14分）

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE．

（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；

（Ⅱ）当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

21．（本题满分15分）

数列
首项
，前项和
与
之间满足
．

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设存在正数
，使
对
都成立，求
的最大值．

22．（本题满分15分）

已知椭圆
经过点
，其离心率为
，经过点
，斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）设椭圆
与轴正半轴、轴正半轴分别相交于
两点，则是否存在常数
，使得向量
与
共线？如果存在，求
值；如果不存在，请说明理由．

2015届新高考单科综合调研卷（文科数学）

参考答案（一）

1．C 【解题思路】
，
，
，故选C.

2．D 【解题思路】
是偶函数，且在
上单调递增，故选D.

3．D 【解题思路】对于A，由定理“若一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线平行于交线”可知，A正确．对于B，由定理“若平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线平行于这个平面”可知，B正确．对于C，由定理“一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线”可知，C正确．对于D，若一条直线与一个平面内的一条直线垂直，这条直线未必垂直于这个平面，因此D不正确．综上所述，选D．

4．B 【解题思路】 ＝（2，2），＝（－1，3），||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影等于＝，故选B.

5．B 【解题思路】（x－a）[x－（a＋2）]≤0 a ≤ x ≤a＋2，由集合的包含关系知：
（其中等号不同时成立）a∈[0，2]，故选B.

6．C 【解题思路】∵a1＋a2＋…＋a20＝60，得a10＋a11＝
＝6，又an＞0，∴a10·a11≤
＝9，故选C.

7．A 【解题思路】因为弦长最短，∴该直线与直线OP垂直，又
，所以直线的斜率为
，由点斜式可求得直线方程为
，故选A.

8．A 【解题思路】将函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象对应函数为
，又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，在
，即
，所以
的最小值为
，故选A.

9．C 【解题思路】点是抛物线准与轴交点，过作抛物线准的垂线，记垂足为，则由抛物线定义可得
，当
最小时，
的值最小，此时，直线
与抛物线相切，可求得直线
的斜率
，所以
=
，
的值最小为
，故选C.

10．B 【解题思路】设
，则AB的中点为
，所以有
，即
，所以“相关点”的个数就是方程
解的个数，由于
的图象在轴上方，且是上增函数，
在
上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即
，故选B.

11．
【解题思路】由奇函数性质可知
在
上单调递增，可得
，解得
.

12．0【解题思路】利用两角和的正切公式得
，
，而

=

=
=
=0.

13．
【解题思路】该空间几何体是一个四棱锥，

其直观图如图所示，其体积为
.

14．
【解题思路】不等式表示的平面区域为如图所示
，

设
平面区域内动点
，则
，

当为点时斜率最大，

当为点时斜率最小，所以

.

15．

【解题思路】由等差数列性质可得
=
=
=
=
=
.

16．
【解题思路】因为＝λ＋μ，所以||2＝|λ＋μ|2，所以＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ··，因为AB＝1，AD＝，AB⊥AD，所以＝λ2＋3μ2．又＝λ2＋3μ2≥2λμ，所以（λ＋μ）2＝＋2λμ≤＋＝，所以λ＋μ的最大值为，当且仅当λ＝，μ＝时取等号．

17．
【解题思路】抛物线焦点
，由题意
，且
并被轴平分，所以点
在双曲线上，得
，即
，即
，所以
，
，故
.

18．【解题思路】（Ⅰ）
=
，……3分

所以
的最小正周期为
，……4分

∵
∴
，故
的值域为
，……6分

（Ⅱ）由
，得
，又
，得
，

……………………………………………………………………………………………………9分

在
中，由余弦定理，得
=
，又
，
，所以
，解得
，………………12分

所以，
的面积
……14分

19．【解题思路】（Ⅰ）由
得，
，因为
，所以
…1分

解得
时，定义域为
………………………………3分

时，定义域为
…………………5分

时，定义域为
……7分

（Ⅱ）对任意
恒有
，即
对
恒成立……8分

即
对
恒成立……10分

记
，