命题：蒋 敏 审题：周爱娟

试题总分值：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
，集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．设
分别是与
同向的单位向量，则下列结论中正确的是

A．
B．
C．
D．

3．设等差数列
的值等于

A．54 B．45 C．36 D．27

4．已知角的终边上一点的坐标为
则角的最小正值为

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
，则函数
的图象可能是

6. 设
是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若
，且
，

则
”为真命题的是

A．
为直线 B．
为平面

C．
为直线，为平面 D．为直线，
为平面

7．已知
是等比数列，若
，则
是
的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知
,则
的最小值为

A．4 B．
C．2 D．

9．已知椭圆
的上焦点为，左、右顶点分别为
，下顶点为，直线
与直线
交于点，若
，则椭圆的离心率为

A．
B.
C．
D.

10．函数
的定义域为R，且定义如下：
（其中M为非空数集且M R），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足
，则函数
的值域为

A．{0} B． {1} C． {0,1} D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共计28分.

11．已知函数
，则
的单调增区间为 ▲

12．一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为 ▲

13．已知
（a＞0），则
=　 ▲ 　．

14．以双曲线
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程是 ▲ ．

15．已知点
在由不等式组
确定的平面区域内，
为坐标原点，

，则
的最大值为 ▲ ．

16．已知函数
若方程
有两个大于零的实数根,

则实数的取值范围是 ▲ .

17．如图，在单位正方体
中,设
是△
内任一点（不包括边界）， 定义
，其中、、分别是三棱锥
、三棱锥
、三棱锥
的体积．若
,且
恒成立，则正实数的最小值为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共计72分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

18．（本题满分14分）

已知
中，
的对边分别为
，且
,
.

（Ⅰ）若
，求边的大小；

（Ⅱ）求
边上高的最大值．

19．（本题满分14分）

已知数列
的前项和为
，

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数m，使得
成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分15分）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，

AE的延长线交CB于F, 现将△ACD沿CD折起， 折成二面角A—CD—B，连接AF.

（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；

（II）当AC⊥BD时，求二面角A—CD—B大小的余弦值。

21.（本题满分15分）

已知函数
.若
在
上的最小值记为
.

（Ⅰ）求
;

（Ⅱ）证明：当
时，恒有



一、选择题 （每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

A

C

B

C

B

D

D

B





二、填空题 （每小题4分，共 28分 ）

11．
12． 48 13． 3 14．
15．3 16．
17．4

三、解答题：本大题共5小题，共计72分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

18．(本题满分14分）

解：（1）
，
，

所以
或
（舍），得
……………………4分

，则
，
，得
…………7分

（2）设
边上的高为
,

，
，

又
，

，当
时取到等于号

所以
边上的高
的最大值为
．…………………………14分

19． 解：（1）当
时，

当
时，
，∴
……………………………………2分

当
时，

∴
…………………………………………6分

（2）当
时，若
成等比数列，则

即
得
，不可能成立……9分

当
时，
，
，
不成等比数列…………………11分

当
时，
，
，
成等比数列……………………13分

所以存在
使得
成等比数列………………14分

20．(本题满分15分）

解：（I）证明：在
，

又E是CD的中点，得AF⊥CD。 …………3分

折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，

故CD⊥平面AEF， …………6分

又CD平面CDB，

故平面AEF⊥平面CBD。 …………7分

（II）方法一：

解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上。

因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，

所以AH⊥平面CBD。 …………8分

以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，

过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。 …………9分

由（I）可知∠AEF即为所求二面角的平面角，

设为
，并设AC=a，可得

……11分

得
…………13分

故二项角A—CD—B大小的余弦值为
…………14分

方法二：

解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，

因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，

所以AH⊥平面CBD。…………9分

连接CH并延长交BD的延长线于G，

由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，

即∠CGB=90°，

因此△CEH∽△CGD，

则

故
…………13分

又∵AE⊥CD，EF⊥CD，

∴∠AEF即为所求二面角的平面角， …………14分

21．(本题满分15分）

（2）椭圆的左顶点
，所以点
. 易证
三点共线.

(I)当
为等腰
的底边时，由于
，
是线段
的中点，

，所以
，即直线
的方程为
； （11分）

(II) 当
为等腰
的底边时，
又
，

解得
，
或

，

所以直线
的方程为
，即
； （14分）

综上所述，当
为等腰三角形时，直线
的方程为
或
.