数学（理科）参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）



答案

A

C

D

D

A

B

C

D

A

B



（1）A 解析：

（2）C 解析：若a＞2，A＝(2，a]满足条件，若a＝2，A＝
满足条件，若a＜2，A＝[a，2)，使A?B，只需a≥－2，故选C．

（3）D 解析：设数列
的公比为q，则
解得
或1.

（4）D 解析：令a＝2，当x＝2时，y＝，排除B、C，当x＝－2时，y＝－，排除A，故选D．

（5）A 解析：
∴

故选A.

（6）B 解析：
，则
.

（7）C 解析：48＝a2＋2a4＋5a6＝
S9＝＝9a5＝54.

（8）D 解析：f (x)＝a·b＝×2sincos＝sinx，g(x)＝a2＋b2－＝sin2＋1＋4cos2－＝3cos2－

＝3×－＝cosx＝sin(＋x)，故选D．

（9）A 解析：y′＝＝1，x＝1－b，切点为(1－b，0)，代入y＝x－a，得a＋b＝1，∵a、b为正实数，∴a∈(0，1)，
，令
∴∈(0，).

（10）B 解析：0＝(4－)·＝(4－)·(＋)＝42＋2－5·＝42＋2－

5||·||cosA≥4||·||－5||·||cosA，∴cosA≥，sinA≤．

解析：
.

（12）
解析：画出简图知封闭图形的面积

（13）336 解析：
中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，∴
中各元素之和为

（14）
解析：当n＝1时，2S1＝a1＋=2a1，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝Sn－Sn－1＋，即Sn＋Sn－1＝，
，又
S＝n，Sn＝，
.

①②⑤ 解析：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB ，等价于

a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数
在
上单调递减得
，等价于a＞b，②正确； 由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．

（16）解析：（Ⅰ）f (x)＝sinx(cosx－sinx)＋＝sin2x－·＋＝sin(2x＋)，

∴f (x)的最大值为，最小正周期为π．（6分）

（Ⅱ）f ′(x)＝cos(2x＋)，令cos(2x＋)＝，则2x＋＝2kπ±（k∈Z），即x＝kπ或x＝kπ－（k∈Z），故其切点坐标为(kπ，)或(kπ－，－)（k∈Z）．（12分）

（17）解析：若p为真命题，则a＞1．

若q为真命题，由
得
，

∴2a＜1，0＜a＜．（6分）

又“p?q”为真，“p?q”为假，则p、q中一真一假．

当p真q假时，a＞1；当p假q真时，0＜a＜．

故a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．（12分）

（18）解析：（Ⅰ）由已知得1－2sin2B＋cosB＋cos(A－C)＝1，

cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin2B，即2sinAsinC＝2sin2B．

由正弦定理知b2＝ac，∴a、b、c成等比数列．（6分）

（Ⅱ）由余弦定理知
，而sinB＝，

故
的面积
（12分）

（19）解析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log2an＋1＝1＋2log2an，则log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，

∴{1＋log2an}为等比数列，且log2an＋1＝(log2a1＋1)×2n－1＝2n.（6分）

（Ⅱ）＝，

设M＝＋＋…＋＝＋＋…＋，则M＝＋＋…＋，

两式相减得M＝＋＋…＋－＝1－－＜1，则M＜2，结论成立.（13分）

（20）解析：（Ⅰ）f ′(x)=a－ex．

当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；

当a＞0时，由f ′(x)=0解得x=lna，当x＞lna时，f ′(x)＜0，当x＜lna时，f ′(x)＞0．

故f (x)在x=lna处取得最大值f (lna)=alna－a，

∵f (x)存在两个零点，∴f (lna)=alna－a＞0，a＞e，即a的取值范围是(e，＋∞)．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) ≤alna－a，故只需alna－a≤a2－ka，k≤a＋1－lna.

令g(a)= a＋1－lna，g′(a)= 1－，当a＞1时，g′(a)＞0；当a＜1时，g′(a)＜0．

故g(a)在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．（13分）

（21）解析:（Ⅰ）观察知数列
是首项为1公差为1的等差数列.

而
时,
，∴
=.

又=1时,
=1也适合上式.
.（６分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
.（９分）

是递增数列，又

（13分）