四川省雅安市重点中学2015届高三1月月考

数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 已知
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
等于

A．
B．
C．
D．

2. 设
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．己知命题 “
”是假命题，则实数
的取值范围是

A.
B. (?1, 3) C.
D. (?3,1)

4. 执行如图所示的程序框图．若输入
，则输出
的值是

A．
B．
C．
D．

5．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

则正确的命题是

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

6. 函数
（其中A＞0，
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象

A. 向右平移
个长度单位

B. 向左平移
个长度单位

C. 向右平移
个长度单位

D. 向左平移
个长度单位

7. 已知三棱锥的底面是边长为
的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．

8. 若
，则
的值为

A.
B. 1 C. 2 D.

9．已知函数
,且函数
恰有3个不同的零点,则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 集合
其中
,则满足条件:
中
最小,且
的概率为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11. 已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，则
的值为 .

12. .若关于
，
的不等式组
（
是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
.

13. 在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
．

14. 设F是抛物线C1：
的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：
的一条渐近线的一个公共点，且
轴，则双曲线的离心率为 ．

15. 给出定义：若
(其中
为整数)，则
叫做离实数
最近的整数，记作
，即
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：

①
的定义域是
，值域是
；

②点
是
的图像的对称中心，其中
；

③函数
的最小正周期为
；

④函数
在
上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.）[]

16．（本小题满分12分）

已知函数
的图像上两相邻最高点的坐标分别为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且
求
的取值范围。

17．（本小题满分12分）

若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

（Ⅰ）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；

（Ⅱ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数
的分布列和数学期望。

18.（本小题满分12分）

在数列
中，
为常数，
，且
成公比不等于1的等比数列.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
。

19．（本小题满分12分）

如图1，在Rt
中，
，
.D、E分别是
上的点，且
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的余弦值；

（Ⅲ）当
点在何处时，
的长度最小，并求出最小值．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的两焦点在
轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点
的动直线
交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（Ⅲ）试证明：
（
）。

2014—2015学年（上期）高三年级期末模拟

数学试题（理工类） 参考答案

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

由题意知
. ……………………………………..（4分）

（Ⅱ）
即
又
,

. ……………………………………..（8分）

……………..（10分）

.……………..（12分）

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
….（2分）

有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：

…………………………………..（5分）

（Ⅱ）依据知X的可能取值为1.2.3 …………………………………..（6分）

且
…………………………………..（7分）

………………………………..（8分）

…………………………………..（9分）

则X的分布列如下表：

X

1

2

3



p









 …………………………………..（10分）

…………………………………..（12分）

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
为常数，∴
…………………………..（2分）

∴
.

又
成等比数列，∴
，解得
或
…………….（4分）

当
时，
不合题意，舍去. ∴
. …………………………………..（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
……………………………………（6分）

∴
………………………………（9分）

∴

………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明:在△
中，

.又


平面
.

又

平面
,又
平面
,故平面
平面
……（4分）

（Ⅱ）由(1)知
故以D为原点,
分别为x,y,z轴建立直角坐标系. 因为CD=2, 则
……………（5分）

,设平面
的一个法向量为

则
取法向量
,则直线BE与平面
所成角
,

…………………………………（8分）

故直线BE与平面
所成角的余弦值为
. ………………………………（9分）

（Ⅲ）设
,则
,则
,

,则当
时
最大为
. …………………（12分）

20．（本小题满分13分）

解: （Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

又斜边长为2,即
故
,

椭圆方程为
. ………………………………（4分）

（Ⅱ）当
与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
;

当
与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为

,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为
. ……（6分）

下证明
为所求:

若直线
斜率不存在,上述已经证明.设直线
,

,

, . …………………………（8分）

…………（10分）

,即以AB为直径的圆恒过点
. … …………………（13分）

注: 此题直接设
,得到关于
的恒成立问题也可求解.

21. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题
… …………………（3分）

故
在区间
上是减函数 ……………………………（4分）

（Ⅱ）当
时，
在
上恒成立，取
，则
， …………………………………（6分）

再取
则
………………………（7分）

故
在
上单调递增，

而
， ………………………（8分）

故
在
上存在唯一实数根
，

故
时，
时，

故
故
………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令
，

又
[]