达州市普通高中2015届第一次诊断性测试数学（理）试题

参考答案

选择题： BDDAC ADCAB

填空题：11. 180； 12.14； 13.
； 14.
； 15. ①②④

解答题

16．（Ⅰ）

，

，
………………6分

（Ⅱ）
，
，
，
，
………………12分

17．（Ⅰ）由
，得
，因为
，所以
，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率
（6分）

（Ⅱ）记分期付款的期数为
,依题意得
，
，
，
，
， …………………………（8分）

因为
的可能取值为
,并且
，

，

. ……………………（10分）

X

1

1.5

2



P

0.35

0.4

0.25



 所以
的分布列为

所以
的数学期望为

（千元）. …………（12分）

18.（Ⅰ）（Ⅰ）由
，
为距形，
得，

又
，
，
…5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，
………………8分

为增函数；

为减函数；

的增区间为
，减区间为 ………………10分

………………12分

19．（Ⅰ）因为
在函数
图象上，

又

又


是以2为首项，1为公差的等差数列；

…………………………………6分

(Ⅱ)由（1）知，
……………………7分

，

+
，
…………12分

20．解：（Ⅰ）依题意，

当
时，
，令
，得
或
，令
，得
；

当
时，
.

当
时，
， 令
，得
或
，令
，得
；

综上所述:

当
时，
的单调递减区间是
，
，单调递增区间是
；

当
时，
的单调递减区间是
，
，单调递增区间是

当
时，
的单调递减区间是 ……………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当
时，
在
单调递减.
；
， ……………………9分

所以

，

得
. ……………………12分

21．（Ⅰ）由
可得
，由条件可得
，把
代入
可得，
，
，
，
，

，
……………………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知
在
上单调递减，
在
上的最小值为
，故只需
，即
对任意的
上恒成立，令

，易求得
在
单调递减，
上单调递增，而
，
，

，即的取值范围为
……………………9分

（Ⅲ）
，不妨设
，
，
，
，相加可得
，相减可得
，由两式易得：
；

要证
，即证明
，即证：
，需证明
成立，令
，则
，于是要证明
，构造函数
，
，故
在
上是增函数，
，
，故原不等式成 ……………………14分