衡阳市2015届高三11月五校联考

（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）

理科数学试题卷

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题(每小题5分，共50分) ：

1．复数
【 】

A .
B.
C.
D.

2．已知
是非空集合，命题甲：
，命题乙：
，那么 【 】

A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

3．已知
,则
【 】

A．
B．
C．
D．

4. 等差数列{a n}中，已知
，
，
，则为 【 】

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

5．在△ABC中，
是
边所在直线上任意一点，若
，则
＝【 】

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数
是定义在R上的增函数，则函数
的图象可能是【 】

7. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【 】

A．
m B．
m C．
m D．
m

8．已知
是定义在R上的函数
的导函数，且
若
，则下列结论中正确的是 【 】

A．
B．

C．
D．

9．设
,若
是
的最小值,则的取值范围为【 】

A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2]

10．在△ABC中，已知
，P为线段AB上的点，且
的最大值为 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6

二．填空题 (每小题5分，共25分) ：

11．
等于 ．

12． 函数
在区间
上的最小值是 ．

13. 数列
中，已知
，则
________.

14．方程
有解，则的最小值为_________

15. 下列命题中，真命题有_______________(写出所有真命题的序号)

⑴在
中，“
”是“
”的充要条件；

⑵点
为函数
的一个对称中心；

⑶若
，向量
与向量
的夹角为
°，则
在向量
上的投影为；

⑷
.

三．解答题：共6个大题，共75分。请在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，只写答案而无步骤不给分。

16.（本题满分12分）

已知函数
（
），

（1）求函数
的最小值；

（2）已知
，：关于的不等式
对任意
恒成立；

：函数
是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

17. （本题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
且
.

(1)求角的大小;

(2)若
,求
的周长的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知数列

Ⅰ）求数列
的通项公式；

Ⅱ）若
求数列
的前n项和

19.（本小题满分13分）

直三棱柱
中,

,

点在
上.

(Ⅰ)若是
中点,求证:
平面
;

(Ⅱ)当
时,求二面角
的余弦值.

20．（本小题13分）

为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

21．（本小题满分13分）

设函数
有两个极值点
,且
.

（1）求实数的取值范围；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）若对任意的
,都有
成立,求实数的取值范围.

衡阳市2015届高三11月五校联考

（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）

理科数学答题卡

一．选择题（每题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

























二. 填空题（每题5分，共25分）

11.__________________ 12.____________________

13.__________________ 14._____________________

15.__________________

三．解答题：共6个大题，共75分。请在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，只写答案而无步骤不给分。

16题（12分）

17题（12分）

18题（12分）

19题（13分）

20题（13分）

21题（13分）

衡阳市2015届高三11月五校联考

（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）

理科数学参考答案

一、选择题(每小题5分，共50分) ：

1.复数
（ A）

A .
B.
C.
D.

2．已知
是非空集合，命题甲：
，命题乙：
，那么 （ B）

A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

3、已知
,则
【 B 】

A．
B．
C．
D．

4.等差数列{a n}中，已知
，
，
，则为 （C）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

5．在△ABC中，
是
边所在直线上任意一点，若
，则
＝（ C ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数
是定义在R上的增函数，则函数
的图象可能是（ B ）

7.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ A ）

A．
m B．
m C．
m D．
m

8．已知
是定义在R上的函数
的导函数，且
若
，则下列结论中正确的是 （ D ）

A．
B．

C．
D．

9、设
,若
是
的最小值,则的取值范围为【 D 】

A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2]

10．在△ABC中，已知
，P为线段AB上的点，且
的最大值为 （ A ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二．填空题 (每小题5分，共25分) ：

11、
等于 ．

12．函数
在区间
上的最小值是 ．

13.数列
中，已知
，则
________.

14．方程
有解，则的最小值为_________1

15下列命题中，真命题有___(1)(2)(4)____(写出所有真命题的序号)

⑴在
中，“
”是“
”的充要条件；

⑵点
为函数
的一个对称中心；

⑶若
，向量
与向量
的夹角为
°，则
在向量
上的投影为；

⑷
.

三．解答题：共6个大题，共75分。请在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，只写答案而无步骤不给分。

16、（本题满分12分）已知函数
（
），

（1）求函数
的最小值；

（2）已知
，：关于的不等式
对任意
恒成立；

：函数
是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

解：（1）
（4分）

（2）
（8分）

∵
（10分）

故实数的取值范围是
（12分）

17 （本题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
且
.

(1)求角的大小; (2)若
,求
的周长的取值范围.

17. 解(1)由
得

又

又

……….6分

(2)由正弦定理得:
,

,

故
的周长的取值范围为
……….12分

18．（本小题满分12分）

已知数列

Ⅰ）求数列
的通项公式；

Ⅱ）若
求数列
的前n项和

解：（Ⅰ）
……………………2分

…………………………………………………………3分

又
，

………………………………4分

……………………5分

（Ⅱ）

…………………………7分

……………8分

……………………9分

………………………………………………11分

……………………………………12分

19、（本小题满分13分）直三棱柱
中,

,

点在
上.

(Ⅰ)若是
中点,求证:
平面
;

(Ⅱ)当
时,求二面角
的余弦值.

解：(Ⅰ)连接
交
于点,连接
,

因为直三棱柱中侧面
为矩形,所以

为
的中点,又是
中点,

于是
,且
面
, AC1?平面B1CD

所以
平面
; （6分）

(Ⅱ)由
知
,即
,

又直三棱柱中
面
,于是以为原点建立空间

直角坐标系
如右图所示,于是
,

又
,由平面几何易知
,

显然平面
的一个法向量为
,

又设平面
的一个法向量为
,则由

,得
,

解得
,取
,则
,设二面角
的平面角为,

则
,又由图知 为锐角,

所以其余弦值为
. （13分）

20．（本小题13分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

19．解析：(Ⅰ)当
时，设该工厂获利为
，则

，所以当
时，
，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损； ………5分

(Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
………………6分

（1）当
时，
，所以
，因为
，所以当
时，
，
为减函数；当
时