2014—2015高三数学第一学期期中参考答案（理科）

选择题

1. D 2. B 3. B 4. A 5. C 6. D 7. C 8. B

二、填空题

9.

10.
； 11．1

12.
13.
14.

三解答题

15.（本题满分12分）

解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.

所以f(α)＝×－

＝.……………………………………………………6分

(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－

＝sin 2x＋－

＝sin 2x＋cos 2x

＝sin，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

当
时，∩
=
；

当
时，∩
=

∴函数f(x)在区间
上的单调递增区间：
，

方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－

＝sin 2x＋－

＝sin 2x＋cos 2x

＝sin.

(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，

从而f(α)＝sin＝sin＝.

(2).由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

当
时，∩
=
；

当
时，∩
=

∴函数f(x)在区间
上的单调递增区间：
，

…………………13分

16. 解:函数
的定义域为
,
.

(Ⅰ)当
时,
,
,

,

在点
处的切线方程为
,

即
. ……………………………………………………6分

(Ⅱ)由
可知:

①当
时,
,函数
为
上的增函数,函数
无极值;

②当
时,由
,解得
;

时,
,
时,

在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值.

综上:当
时,函数
无极值

当
时,函数
在
处取得极小值
,无极大值.

……………………………………………………13分

17. 解：（Ⅰ）由
，根据正弦定理得
，所以
，

由
为锐角三角形得
．…………………………………………5分

（Ⅱ）

．

由
为锐角三角形知，

，
．

，

所以
．

由此有
，

所以，
的取值范围为
．

…………………………………………13分

18解：(Ⅰ)∵
.

由余弦定理有

∴
……………………………………………………5分

(Ⅱ)由题意得

……………………………………………………13分

19．【解析】（18）（共13分）

解：（Ⅰ）

令
，得
.

当k>0时，
的情况如下

x

(
)



(
,k)

k







+

0

—

0

+





↗



↘

0

↗



所以，
的单调递减区间是（
）和
；单调增区间是
当k<0时，
的情况如下

x

(
)



(
,k)

k







—

0

+

0

—





↘

0

↗



↘



所以，
的单调递减区间是（
）和
；单调增区间是

……………………………………………………8分

（Ⅱ）当k>0时，因为
，所以不会有

当k<0时，由（Ⅰ）知
在（0，+）上的最大值是

所以
等价于

解得
.

故当
时，k的取值范围是

……………………………………………………14分

20．解:(Ⅰ)由
即
对
恒成立,∴

而由
知
<1 ∴

由
令
则

当<
时
<0,当>
时
>0,

∵
在
上有最小值

∴
>1 ∴>

综上所述:的取值范围为
……………………………………………………6分

(Ⅱ)证明:∵
在
上是单调增函数

∴
即
对
恒成立,

∴

而当
时,
>
∴

分三种情况:

(1)当
时,
>0 ∴f(x)在
上为单调增函数

∵
∴f(x)存在唯一零点

(2)当<0时,
>0 ∴f(x)在
上为单调增函数

∵
<0且
>0

∴f(x)存在唯一零点

(3)当0<
时,
,令
得

∵当0<<
时,
>0; >
时,
<0

∴
为最大值点,最大值为

①当
时,
,
,
有唯一零点

②当
>0时,0<
,
有两个零点

实际上,对于0<
,由于
<0,
>0

且函数在
上的图像不间断 ∴函数
在
上有存在零点

另外,当
,
>0,故
在
上单调增,∴
在
只有一个零点

下面考虑
在
的情况,先证
<0

为此我们要证明:当>时,
>
,设
,则
,再设

∴

当>1时,
> -2>0,
在
上是单调增函数

故当>2时,
>
>0

从而
在
上是单调增函数,进而当>时,
>
>0

即当>时,
>
,

当0<<
时,即
>e时,
<0

又
>0 且函数
在
上的图像不间断,

∴函数
在
上有存在零点,又当>
时,
<0故
在
上是单调减函数∴函数
在
只有一个零点

综合(1)(2)(3)知:当
时,
的零点个数为1;当0<<
时,
的零点个数为2 ……………………………………………………14分