本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合
，
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
，是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．已知是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

4．若命题
为偶函数；若命题
为奇函

数，则下列命题为假命题的是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

6． 已知
为等比数列，
，
，则
（ ）

（A）7 （B）5

（C）
（D）-7

7．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是 (　　)．

A．(－∞，4) B．(－∞，3)

C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)

8．如图所示的算法中，令
，
，
，

若在集合

中，给取一个值，

输出的结果是
，则的值所在范围是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

9．已知正项等比数列
满足
。若存在两项
使得
，则
的最小值为( )

（A）
（B）

（C）
（D）

10.已知直线
所过定点恰好落在曲线

上，若函数
有三个不同的零点，则实数的范围是 ( )

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知数列
的前n项和
=ｎ２，则通项aｎ＝ ___________

12．已知向量
与
的夹角是
，
，
.若
，则实数
.

13．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．

14．若
，则
.

15．若a，b是任意非零的常数，对于函数
有以下5个命题：

①
是
的周期函数的充要条件是
；

②
是
的周期函数的充要条件是
；

③若
关于直线
对称，且
，则
是奇函数；

④若
是奇函数且是
的周期函数，则
的图形关于直线
对称；

⑤若
关于点
对称，关于直线
对称，则
是
的周期函数．

其中正确命题的序号为 ．

三、解答题:本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分.

16．已知数列
满足
，且
．

（1）证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
.

17．在
中，角
所对的边分别是
.已知
.

（1）求角的大小；（2）求
的最大值.

18．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．

（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．

19. 如图四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，垂足为
，
在
上且
，
，
，是
的中点，四面体
的体积为
.

（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

20.已知函数
.

（1）若
在区间
单调递增，求的最小值；

（2）若
，对
，使
成立，求的范围.

21．已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线
与椭圆
交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值.

高三（上）半期数学试题（文科）

参考答案

4．D 解：函数
，
定义域均为
，

对
，
，

为偶函数，命题
为真命题；

对
，

，

为奇函数，命题
为真命题；故
为假命题.

5．C 解：几何体的直观图是底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，其四个面的面积分别是：

，
，
，

．所以该四面体四个面的面积中，最大的是
．

6． D

7．D解析　f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.

8．D解：输出的是最大数.

9．C

10．A 解：依题意，直线为
，联立
，解得
，

故定点为
，
,
.

令
，故
.则
的图象与
的图象有三个不同的交点.作图，得关键点
，可知
应介于直线
与直线
之间.由
，
，故
.

11．２ｎ－１ 12． 解：
，
，解得
.

13．3

14．-7/9

15．①③⑤

16.

17.

18. 解　(1)由题意，第5组抽出的号码为22.

因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

(2)因为10名职工的平均体重为

＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

所以样本方差为：s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.

(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．

故所求概率为P(A)＝＝.

19解：（1）由四面体
的体积为
. ∴

以
构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线。

∴
∴

∴
…………………………………………6分

（2）由

∴
为等腰三角形，GE为
的角平分线，作
交BG的延长线于K,

∴
。由平面几何知识可知：

设直线
与平面
所成角为

∴
…………………………………………………………12分

20．解：（1）由
在
恒成立

得：
而
在
单调递减，从而
，

∴

∴
………………………………………………6分

.

21.