第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，


,则
是 (　　)

A．
B．
C． D．

2．已知复数满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列命题中正确的是( )

A．若
,则

B．若
为真命题,则
也为真命题

C．“函数
为奇函数”是“
”的充分不必要条件

D．命题“若
,则
”的否命题为真命题

4．公比不为1的等比数列
的前项和为
，且
，
，
成等差数列，若
，则
＝ (　　)

A．
B． C． D．

5．若框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　)．

A．k＝9? B．k≤8? C．k＜8? D．k＞8?

6．函数
的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 （ ） (　　)．

A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)

7． 如图，在正方体
中，点是上底面
内一动点，则三棱锥
的正视图与侧视图的面积之比为（ ）

A． : B．:

C．: D．:

8．在平行四边形
中，
60°，为
的中点，若
，则
的长为( )

A．
B． C． D．

9．若任取
，则点
满足
的概率为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知
是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线
绕原点逆时针旋转
°到
交单位圆于点
，则
的最大值为（ ）

A．
B．1 C．
D．

11．函数y＝的图象大致是 (　　)

12．函数
，当
时，
恒成立，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．将名教师，名学生分成个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由名

教师和名学生组成，不同的安排方案共有__________种.

14．数列
的前项和为
，若
则
=____________.

15．如果存在实数使不等式
成立，则实数的取值范围是__________.

16．已知函数
，给出下列五个说法：

①
. ②若
，则
.③
在区间
上单调递增. ④将函数
的图象向右平移
个单位可得到
的图象.

⑤
的图象关于点
成中心对称．其中正确说法的序号是 .

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程.

（Ⅱ）直线

（为参数）与曲线交于
两点，于轴交于点E，求
.

18.（本小题满分12分）

已知函数
．设
时
取到最大值．

（Ⅰ）求
的最大值及的值；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，试判断三角形的形状．

19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
、
、
,且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；

（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为
，求随机变量
的分布列与数学期望.

20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，是
的中点。

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若二面角
的余弦值为
，求直线
与 平面
所成角的正弦值。

21.（本小题满分12分）已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆经过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
面积最大时实数
的值.

22.（本小题满分12分）设
,
.

（Ⅰ）当
时,求曲线
在
处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;

（Ⅲ）如果对任意的
,都有
成立,求实数的取值范围.

玉溪一中2015届高三上学年期中考试理科数学

参考答案

18.【答案】

又
，则
，故当

即
时，
6分

（2）由（1）知
，由
即
，

又
，

则
即
，

故

又
所以三角形为等边三角形. 12分

20【答案】.

解：（Ⅰ）
平面ABCD，
平面ABCD，
，

，
，

，

又
，
平面PBC，

∵
平面EAC，平面
平面PBC ……………6分

(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1， 0）。

设P（0，0，a）（a>0），则E（
，
，
），

，
，
，

取
=（1，－1，0）……………8分

则
， m为面PAC的法向量

设
为面EAC的法向量，则
，

即
，取
，
，
，则
，

21.【答案】（1）
，又

…………4分

（2）显然直线
不与轴重合

当直线
与轴垂直时，|
|=3，
，
；………5分

当直线
不与轴垂直时，设直线
：
代入椭圆C的标准方程，

整理，得

……………7分

令

所以

由上，得

所以当直线
与轴垂直时
最大，且最大面积为3 ……………10分

所以，
………………12分

22【答案】（1）当
时,
,
,

,
, 所以曲线
在
处的切线方程为
;
2分

(2)存在
,使得
成立 等价于:
, 考察
,
,































递减

极小值

递增







由上表可知:
,

,

所以满足条件的最大整数
;
7分

(3)当
时,
恒成立等价于
恒成立,

∴f(x)的最大值是0, 最小值是
.………………12分