成都高新区高2015届第11学月统一检测数学

（考试时间：11月6日下午14：00—16：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1.复数
(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从这20个中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

A.分层抽样法，系统抽样法 B. 系统抽样法，分层抽样法

C. 分层抽样法，简单随机抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法

3. 已知向量
，若
为实数，
∥
，则
=

A．
B．
C．1 D．2

4.命题
，则

A．
B．

C．
D．

5. 已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A.7 B.
C.
D.

6. 设偶函数

，则

A．
的对称中心为
，且在
上为减函数

B．
的对称中心为
，且在
上为减函数

C．
的对称中心为
，且在
上为增函数

D．
的对称中心为
，且在
上为增函数

7.等差数列
的前项和分别为
，且
，则
=

A.
B.
C.
D．

8. 已知函数
，
.若关于的方程
有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9．已知点
，
满足
，则关于的二次方程
有实数根的概率为

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，若对于
都有
成立，则
的取值范围

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11. 设为常数，点
是双曲线
的一个焦点，则双曲线的离心率为

12. 在△ABC中，
，则
的值为

13. 2014年10月四川省天府新区成为国家级新区。其中包括高新区的中和、桂溪和石羊三个街道，现在三个街道共引进A、B、C、D四个项目，每个街道至少引进一个项目，共有

种不同的引进方法

14. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是 。

15. 定义在上的函数
，其图象是连续不断的，如果存在非零常数
（
），使得对任意的
，都有
，则称
为“倍增函数”，
为“倍增系数”，下列说法中正确的序号是 ．

①若函数
是倍增系数
的“倍增函数”，则
至少有1个零点；

②函数
是“倍增函数”，且“倍增系数”
；

③函数
不可能是“倍增函数”；

④函数
是“倍增函数”，且“倍增系数”
.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

16、已知数列
的前项和
，

（Ⅰ）求通项公式
；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和

17. 已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调减区间；

（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为
，已知
，且
，求△ABC的面积．

18．通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量

一级

二级

超标



日均值 (微克/立方米)

35以下

35～75

75以上



某城市环保局从该市城区2013年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

（Ⅰ）从这10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

（Ⅱ)从这10天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）设
，求二面角
的余弦值。

20.已知椭圆

（
）的离心率是
，且点
在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ)若过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，试求△
面积的取值范围（
为坐标原点）．

21.已知函数
，

（Ⅰ）若函数
，当
时，求
在
的最小值；

（Ⅱ)若函数
在定义域内不单调，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：

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数学（理）答题卡

（考试时间：11 月6日 下午14:00—16:00 总分：150 分）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项























填空题

11._______ _________ 12.____ ___ ____

13. _______________ 14._____ _ _

15._ __

解答题

16.（本题满分12分）

17. （本题满分12分）

18（本题满分12分）

19（本题满分12分）

20（本题满分13分）

21（本题满分14分）

成都高新区高2015届第11学月统一检测

数学（理）参考答案及评分标准

（考试时间：11月6日下午14：00—16：00 总分：150分）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

A

C

B

D

C

D

C

A

B

B



填空题

11.
12.
13.36 14.
15. ①③④

三、解答题（共75分）

18．解：（Ⅰ）记“至少有一天空气质量达到一级”为事件,则
为“没有一天达到一级”

（Ⅱ）由题知

则分布列为



















则

19.解：（1）证明：因为
，所以
，……2分

又因为底面
是菱形，且为
中点，所以
…4分

而
，故
，所以
…6分

（2）如图建立空间直角坐标系
，因为
，则

为
的中点，所以
，

，
，
，………………8分

设平面
的法向量
，由
得
……9分

设平面
的法向量
，由
得
……10分

………………………………11分

由题可得二面角
为钝二面角，故所求二面角的余弦值为
…12分

20 解：（1）由已知有
①，又由
，得

，

从而得
②，由①②解得

椭圆方程为
…………………………………… 4分

（2）当直线
的斜率不存在时，直线
与椭圆无交点，

故可设
为
…………………………………… 5分

由
得

得
………… 7分

设
，由韦达定理得

……………………… 9分

设点O到直线EF的距离为d,则

，令
，则
又
，得

，又
，得
……………………………………11分

当
时，
取最大值
，所以
的取值范围为
……13分

21．解：（Ⅰ）

……2分

∴
在区间
上递增，∴
……4分

（Ⅱ）
在定义域内不单调，则
在
有根，即
在
有根……6分

令
则
∴
，
在
递减，在
递增，∴
，

当
时，由（Ⅰ）知
在
递增，…8分

∴的取值范围为
……10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当
时
在区间
上递增且
∴
，

∴
…12分

∴
……14分