本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合
，
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
，是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．已知是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

4．若命题
为偶函数；若命题
为奇函

数，则下列命题为假命题的是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

6．已知正项等比数列
满足
。若存在两项
使得
，则
的最小值为( )

（A）
（B）

（C）
（D）

7．如图所示的算法中，令
，
，
，

若在集合

中，给取一个值，

输出的结果是
，则的值所在范围是（　 　）

（A）
（B）

（C）
（D）

8．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为 (　　)．

A．{x|x>0} B．{x|x<0}

C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0

9．已知
为平面上的定点，、、
是平面上不共线的三点，若

，则(ABC是（　 　）

（A）以AB为底边的等腰三角形 （B）以BC为底边的等腰三角形

（C）以AB为斜边的直角三角形 （D）以BC为斜边的直角三角形

10.已知直线
所过定点恰好落在曲线
上，若函数
有三个不同的零点，则实数的范围是 ( )

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．
展开式中
的系数是 ．

12．已知向量
与
的夹角是
，
，
.若
，则实数
.

13．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．

14．函数y＝x－2sin x在[0，π]上的递增区间是________．

15．若a，b是任意非零的常数，对于函数
有以下5个命题：

①
是
的周期函数的充要条件是
；

②
是
的周期函数的充要条件是
；

③若
是奇函数且是
的周期函数，则
的图形关于直线
对称；

④若
关于直线
对称，且
，则
是奇函数；

⑤若
关于点
对称，关于直线
对称，则
是
的周期函数．

其中正确命题的序号为 ．

17．在
中，角
所对的边分别是
.已知
.

（1）求角的大小；（2）求
的最大值.

18．某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人.

（1）从中选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；

（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量
的分布列和期望.

19. 如图四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，垂足为
，
在
上且
，
，
，是
的中点，四面体
的体积为
.

（1）求二面角
的正切值；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（3）在棱
上是否存在一点，使异面直线
与
所成的角为
，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.

20．已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线
与椭圆
交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值.

21．设函数
定义在
上，
，导函数
，
．

（1）求
的单调区间和最小值；

（2）讨论
与
的大小关系；

（3）是否存在
，使得
对任意
成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

高三（上）半期数学试题（理科）

参考答案

4．D 解：函数
，
定义域均为
，

对
，
，

为偶函数，命题
为真命题；

对
，

，

为奇函数，命题
为真命题；故
为假命题.

5．C 解：几何体的直观图是底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，其四个面的面积分别是：

，
，
，

．所以该四面体四个面的面积中，最大的是
．

6．C

7．D 解：输出的是最大数.

8．A构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

9．B 解：由已知，

，设BC中点为D，则
，故
，
，(ABC 是以BC为底边的等腰三角形.

10．A 解：依题意，直线为
，联立
，解得
，

13．3

14．　

15．②④⑤

16.

17.

18.

19. 解：（1）由四面体
的体积为
. ∴

设二面角
的大小为
为中点，

∴
同理
∴

∴
……………………………………………………3分

20.

21.解：（1）∵
，∴
（为常数），

又∵
，所以
，即
，∴
；
，

∴
，令
，即
，解得
，

当
时，
，
是减函数，故
是函数
的减区间；

当
时，
，
是增函数，故
是函数
的增区间；

所以
是
的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以
的最小值是
．

（2）
，设
，则
，

当
时，
，即
，当
时，
，
，因此函数
在
内递减，当
时，
=0，∴
；

当
时，
=0，∴
．

（3）满足条件的
不存在．证明如下：