黑龙江省哈六中2015届高三上学期期中考试数学理试题

考试时间：120分钟 满分：150分

选择题：（每题5分共60分）

1.函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
，命题
,则（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

3．已知
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．
中，角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
其中（
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象（ ）

A．向右平移
个长度单位

B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位

D．向左平衡
个长度单位

6．若
，则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．等差数列
的前项和为
，已知
，则
( )

A． B． C． D．

8．设
为等比数列
的前项和，已知
,则公比
( ).

A．
B． C．
D．

9．在
中，若
，则
面积的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．
等于（ ）

A． B． C．
D．

11．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，设
，
，
，则
的大小关系是( )

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C. D.

二、填空题（每题5分共20分）

13．
内接于以为圆心，半径为的圆，且
，则
的边
的长度为 .

14.已知数列
中，
，且数列
为等差数列，则
.

15．在
中，
，点在边
上，
，
，
，则
.

16．给出下列四个命题：

①
中，
是
成立的充要条件；

②当
时，有
；

③已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；

④若函数
为上的奇函数，则函数
的图象一定关于点
成中心对称．

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题

17．在
中，角
所对的边分别为
，且满足
，
.

（1）求
的面积；（4分）

（2）若
、
的值. （6分）

18．已知函数
的最大值为．（12分）

（Ⅰ）求常数的值；（4分）

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间；（2分）

（Ⅲ）若将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．（6分）

19. 已知数列
与
，若
且对任意正整数满足
数列
的前项和
．

（1）求数列
的通项公式；（5分）

（2）求数列
的前项和
（7分）

20．已知曲线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线
的参数方程为
（为参数）．

（1）求曲线
的直角坐标方程与直线
的普通方程；（4分）

（2）设曲线
与直线
相交于
两点，以
为一条边作曲线
的内接矩形，求该矩形的面积．（8分）

21．已知单调递增的等比数列
满足：
,且
是
,
的等差中项.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；（6分）

（Ⅱ）若
,
,求
. （6分）

22．已知函数
（为无理数，
）

（1）求函数
在点
处的切线方程；（3分）

（2）设实数
，求函数
在
上的最小值；（3分）

（3）若
为正整数，且
对任意
恒成立，求
的最大值．（6分）

哈尔滨市第六中学2014—2015学年度上学期期中考试

高三（理科）数学答案

CCDAA CCBCD BD 13.
14.
15.
16.①③

17. （1）
,

而

又
，
，
------------4分

（2）
而
，

，

又
，
----------------------------------6分

18. （1）

，
-----------------------------------------------------------4分

（2）由
，解得

，所以函数的单调递增区间
--------2分

（3）将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，

当
时，
，
取最大值

当
时，
，
取最小值-3.-----------6分

19. 解：（1）由题意知数列
是公差为2的等差数列 又因为
所以
--2分

当
时，
；

当
时，

对
不成立

所以，数列
的通项公式:
-------------3分

（2）
时，

时，

所以

仍然适合上式

综上，
--------------------------7分

20. 解：（1）对于
：由
，得
，进而
． 2分

对于
：由
（为参数），得
，即
． 4分

（2）由（1）可知
为圆，圆心为
，半径为2，弦心距
， 6分．

弦长
， 8分．

因此以
为边的圆
的内接矩形面积
-------------------------12分

21. （Ⅰ）设等比数列
的首项为
，公比为，

依题意，有2（
）=
+
,代入
, 得
=8,

∴
+
=20

∴
解之得
或

又
单调递增，∴ =2,
=2,∴
=2n -------------------------------6分

（Ⅱ）
,

∴
①

∴
②

∴①-②得

＝
------------------------------6分

22. ⑴∵

---------3分

（2）∵



时
，
单调递减；

当
时
，
单调递增.

当

-------------------------------3分

(3)
对任意
恒成立，

即

对任意
恒成立， 即
对任意
恒成立

令

令
在
上单调递增。

∵

∴所以
存在唯一零点
，即
。

当
时，
；

当
时，
；

∴
在
时单调递减；在
时，单调递增；

∴

由题意
，又因为
，所以k的最大值是3----------------------------------6分