4．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（　　）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
，
，

则cosA=（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
，
的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于
两点，则
 ( )

A.4 B.8 C.16 D. 32

8．在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A

A．
B．
C．
D．

9．己知等差数列
的首项为
，公差为
，其前项和为
，若直线
与圆
的两个交点关于直线
对称，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足
，
，若存在实数a，使得
成立，则实数b的取值范围是

A．(-1,1) B．
C．
D．

11.函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是

A．
 B．
 C．
 D．


12．已知
，且
，现给出如下结论：

①
；②
；③
；④
.其中正确结论个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第II卷（非选择题）

填空题（每题5分）

13.已知
是夹角为
的单位向量，向量
，若
，则实数
．

14.已知数列
满足
，且
，

则
的值是 ．

已知数列
满足
，
，记
，且存在正整数，使得对一切
恒成立，则的最大值为 ．

已知函数
，则
___．

三、解答题

17．(10分)已知函数
，

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)若?为锐角，且
，求sin?的值.

18．(12分)已知
是等差数列，满足
，
，数列
满足
，
，且
是等比数列.

（1）求数列
和
的通项公式； （2）求数列
的前项和.

19．(12分)如图,在直三棱柱
中，
平面
，其垂足落在直线
上．

（1）求证：
⊥

（2）若
，
，为
的中点，求二面角
的平面角的余弦值



20．(12分)数列
的前n项和记为
点
在直线
上，
．（1）若数列
是等比数列，求实数的值；

（2）设各项均不为0的数列
中，所有满足
的整数
的个数称为这个数列
的“积异号数”，令
（
），在（1）的条件下，求数列
的“积异号数”

21．(12分)已知点是椭圆
的右焦点，点
、
分别是轴、轴上的动点，且满足
．若点满足
．

（1）求点的轨迹
的方程；

（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线
、
与直线
分别交于点
、（
为坐标原点），试判断
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

22．(12分)已知函数
．

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．



试题解析：⑴ 设等差数列
的公差为，由题意得
，

所以
．设等比数列
的公比为，由题意得

，解得
．所以
．

从而
.

⑵ 由⑴知
．数列
的前项和为
， 数列
的前项和为
．所以，数列
的前项和为
.

19．（ 1）证明：三棱柱
为直三棱柱，

平面
，又
平面
，

-
平面
，且
平面
，

． 又
平面
,
平面
,
，

平面
， 又
平面
，

（2）由（1）知
平面
，
平面
,从而

如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面
，其垂足落在直线
上,

．



在
中，
，AB=2，
,

在直三棱柱
中，

．在
中，
,

则（0,0,0）,
,C（2，0，0）,P（1，1，0）,
（0，2，2
）,

（0，2，2
）

设平面
的一个法向量

则
即
可得

设平面
的一个法向量

则
即

可得

二面角
平面角的余弦值是
12分

（2）或
在
中，
，AB=2,则BD=1 可得D（

二面角
平面角的余弦值是
12分

21．（1）
； （2）
的值是定值，且定值为
．

试题解析：解：（1）椭圆
右焦点的坐标为
，

．
，由
，得
.

设点的坐标为
，由
，有
，

代入
，得
.

（2）（法一）设直线
的方程为
，
、
，

则
，
.

由
，得
， 同理得
．

，
，则
.

由
，得
，
.

则
.

因此，
的值是定值，且定值为
.

（法二）①当
时，
、
，则
，
．

由
得点
的坐标为
，则
．

由
得点的坐标为
，则
．

.

22．（1）极大值
；（2）
；（3）
.

：（1）当
时，
，

，

由
解得
，由
解得
，

故当
时，
的单调递增；当
时，
单调递减，

∴当
时，函数
取得极大值
.

（2）
，∵函数
在区间
上单调递减，

∴
在区间
上恒成立，即
在
上恒成立，

只需2a不大于
在
上的最小值即可．

而

，则当
时，
，

∴
，即
，故实数a的取值范围是
． 8分

（3）因
图象上的点在
所表示的平面区域内，即当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，设
（
），只需
即可．

由
，

（ⅰ）当
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递减，故
成立．

（ⅱ）当
时，由
，令
，得
或
，

①若
，即
时，在区间
上，
，函数
在
上单调递增，函数
在
上无最大值，不满足条件；

②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件．