江西省 六校2015届高三第一次联考

数学试题（理科）

命题人：上栗中学 谭移民 ? ?审题人：宁都中学 刘银火

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知
，映射
的实部，则
的像为（ ）

A．
B．
C．
D．

2已知函数
,若
则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．以下说法错误的是（ ）

A．命题“若
则x=1”的逆否命题为“若
1,则
” ．

B．在
中,“
”是“
”的充要条件

C．若p或q为假命题,则
均为假命题．

D．若命题p:
R,使得
则

R,则
．

5已知
＝，则sin 2θ的值为（ ）

A．－ B．－ C．－ D.

6若某程序框图如图所示,则输出的的值是（ ）

A．22 B．27 C．31 D．56

7将函数
的图象沿轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（ ）

A．
B．
C．0 D．

8.已知数列
满足
，则该数列的前18项和为（ ）

A.2101 B.2012 C.1012 D.1067

9.已知定义在R上的可导函数
的导函数为
，满足
＜
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为（ ）

A. （
） B. （
） C. （
） D.（
）

10.如图，半径为2的⊙
与直线
相切于点，射线
从
出发绕点逆时针方向旋转到
，旋转过程中，
交⊙
于点
，设
为，弓 形
的面积为
，那么
的图象大致是（ ）

A B C D

二、选做题：在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分．

11.（1）在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是(　)

A．(1，
) B．(2，
) C．(1,0) D．(1，)

11.（2）.对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是(　　)

A．k<1 B．k≥1 C．k>1 D．k≤1

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分

12.由直线
所围成的封闭图形的面积为__________.

13.已知向量
，
满足
，且
，则
的夹角为 .

14.已知正项等比数列
满足:
,若存在两项
使得
,则
的最小值为 _____________________

15.已知点
，是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论：

①存在点使得
是等腰三角形；

②存在点使得
是锐角三角形；

③存在点使得
是直角三角形.

其中，正确的结论的序号为 .

四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

为了参加2014年南京青奥会运动会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源如下表:

对别

 北京

 上海

 天津

 广州



人数

 4

 6

 3

 5



 (1)从这18名对员中随机选出两名,求两人来自同一个队的概率;

(2)比赛结束后,若要求选出两名队员代表发言,设其中来自北京的人数为
,求随机变量
的分布列,及数学期望.

17.（本小题满分12分）

某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD，道路的平面图如图所示（单位：km），已知曲线ASB为函数
＞0，0＜＜1，
＜
,
的图象，且最高点为

S（1,2），折线段AOD为固定线路，其中AO＝
，OD＝4，折线段BCD为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD＝120°。

（1）求
的值；

（2）应如何设计，才能使折线段道路BCD最长？

并折线段道路BCD最大值.

18.（本小题满分12分）

若正数项数列
的前项和为
,首项
,
点在曲线
上.

(1)求数列
的通项公式
；

(2)设
,
表示数列
的前项和,若
恒成立,求
及实数的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,
,AA1=4,点D是AB的中点.

(1)求多面体
的体积;

(2)求二面角
的平面角的正切值.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的左右两个焦点为
离心率为
，过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于
两点，椭圆的左顶点为M，连接MA，MB并延长交直线x＝4于P、Q两点 ，
分别为P、Q的纵坐标，且满足
求证：直线l过定点.

21.（本小题满分14分）

已知函数

(1)当
时,求函数
在
上的极值;

(2)证明:当
时,
;

(3)证明:

.

2015届高三第一次六校联考

理 科 数 学

参考答案

17．（本小题满分12分）

解：（I）由已知A=2， 。。。。。。。1分

且有
，即
，

由||<
得
． 。。。。。。。。。。。。。3分

又∵ 最高点为(1，2)，

∴
解得
．

∴
．…………………………………………………………6分

（II）∵ B点的横坐标为3，代入函数解析式得
=1，

∴
．…………………………………………………8分

在△BCD中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180o-120o-θ=60o-θ．

由正弦定理有
，

∴
，
， …………………………………10分

∴

．

∴ 当且仅当
时，折线段BCD最长，最长为
千米．…………12分

显然
是关于的增函数, 所以
有最小值
,

由于
恒成立,所以
,

于是的取值范围为
…………12分

解法二:以
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系,

AC=3,BC=4,AA1=4,

∴
,
,
, ………8分

∴
,

平面
的法向量
,

设平面
的法向量
,

则
,
的夹角的补角的大小就是二面角
的大小

则由
解得
………10分

,则

∴二面角
的正切值为
………12分

20．（本小题满分13分）

．解析（Ⅰ）由


过点
解得
，
，

故椭圆C的方程为
． 4分

（Ⅱ）联立
消去y，得
，

则
，又
、

，
， 6分

设直线MA：
，则
，同理
， 8分

∵
，∴
，即
，

∴
，∴
，

即
， 10分

∴

∴
，故
， 12分

故直线l方程为
，可知该直线过定点
． …………………..13分

(3)由(2)知

令
得,
………10分

………13分

………14分