3．已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条

4．
中，角
所对的边
，若
，
，
，则
( )

A．
　　 B．
　　 C．
　　 D．

5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则
＝(　　)

A．(2,4) B．(3,5) C．(1，1) D．(－1，－1)

6.已知点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的最小值是( )

A．
B． C．
D．

7．已知点是抛物线
上的一个动点，则点到点
的距离与点到该抛

物线准线的距离之和的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

8．对于非空集合
，定义运算：
，已知
，其中
满足
，

，则
( )

A
B.
C.
D.

二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分)

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答

9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生
人，现采用分层抽样法抽取一个容量为
的样本，已知在高一年级抽取了
人，高二年级抽取了
人，则高中部共有学生____人.

10．

11．执行如图3所示的程序框图，输出的

12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得

该几何体的表面积是_________；

13．观察下列等式:

,

,

,

,

由以上等式推测:

对于
,若
,则
.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）．

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且

，则
．

15．（坐标系与参数方程选做题）曲线
对称的曲线的极坐标方程为 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在△
中，
分别是角
所对的边，满足
，

（1）求角的大小；

（2）设
，
，求
的最小值

17．（本小题满分12分）

某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于
秒与
秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，…，第五组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；

（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为
，求
的分布列和期望．

18.（本小题满分14分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点.

(1)求证：AB1//面BDC1；

(2）求二面角C1—BD—C的余弦值；

(3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.

19.（本小题满分14分）

已知
、
是方程
的两根，数列
是递增的等差数列，数列
的前项和为
，且
（
）．

(1)求数列
，
的通项公式；

(2)记
，求数列
的前项和
．

20.（本小题满分14分）

如图，已知椭圆
的上顶点为,离心率为
，若不过点的动直线
与椭圆
相交于、
两点，且
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求证：直线
过定点，并求出该定点
的坐标.

21.（本小题满分14分）

已知函数
是奇函数，且图像在点
处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．

（1）求实数、
的值；

（2）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；

当
时，
取最小值
………………………12分

17.解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，

人数为：50×0.06=3

所以该样本中成绩优秀的人数为3 ……… …………… 3分

（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342

所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。……… 7分

（3）第五组共有50×0.008=4人,其中1男,3女,则
的可能取值为1，2，3；

……… 8分

…… 9分

……… 10分

的分布列为

P

1

2

3





1/3

1/2

1/6



 …… 11分

∴
…………12分

18.（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.

又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………2分

∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分

（II）解：如图，建立空间直角坐标系，则

C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

D（1，3，0）……………………5分

设
=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则

即
.…………………………………………6分

易知
=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

.……………………………8分

∴二面角C1—BD—C的余弦值为
.…………………………………………9分

（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则
∴方程组无解.∴假设不成立.

∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………………………14分

(2)
……9分

……………11分

两式相减得：
……13分

，所以
……14分

，

代入椭圆
的方程
并整理得:
,

设直线
与椭圆
相交于
、
两点，则
是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

…………………………………7分

由
得

，

整理得：

由
知
.

此时
, 因此直线
过定点
. ………………………14分

2015届阳东一中、阳东广雅中学高三第一次联考试题答题卡

（理科数学） 2014.9.27

一、选择题（5×8=40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案



















二、填空题（5×6=30分）

（必做题）

9． 10. 11. 12. 13．

（选做题）考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．并用2B铅笔填涂相应的信息点

14． 15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16、(本小题满分12分)

17、(本小题满分12分)

18、(本小题满分14分)



19．(本小题满分14分)



20．（本小题满分14分）





21．（本小题满分14分）