2014—2015学年度第一学期期中考试

高三数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设集合
则
.

2.已知
为虚数单位），若复数
在复平面内对应的点在实轴上，则
.

3.若命题
是假命题，则实数
的取值范围是 .

4.已知向量
若
则实数
.

5.若等差数列
的前5项和
且
则
.

6.若直线
是曲线
的一条切线，则实数
.

7.已知函数
是奇函数，当
时，
且
则
.

8.在
中，角
的对边分别是
，若
则
的面积是 .

9.如图，
中，
是
的中点，则
的值为 .

10.已知
是分比为
的正项等比数列，不等式
的解集是
则
.

11.在平面直角坐标系中，已知角
的终边经过点
则
.

12.已知点
分别在函数
和
的图象上，连接
两点，当
平行于
轴时，
两点的距离是 .

13.已知三个实数
，当
时满足：
且
则
的取值范围是 .

14.已知函数
，其中
当函数
的值域为
时，则实数
的取值范围 .

二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分14分)在
中，已知

（1）若
求

（2）若
求
的值.

16. (本题满分14分)已知集合

（1）当
时，求
（2）若命题“
”是命题“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.

17. (本题满分14分)

在平面直角坐标系中，已知三点
为坐标原点.

若
是直角三角形，求
的值；

若四边形
是平行四边形，求
的最小值.

18.（本小题满分16分）

如图，
为某湖中观光岛屿，
是沿湖岸南北方向道路，
为停车场，

某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场
已知游船以
的速度沿方位角
的方向行驶，
游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点
与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道
处，然后乘出租车到停车场
处（设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是
，出租车的速度为

设
问小船的速度为多少
时，游客甲才能和游船同时到达点

设小船速度为
，请你替该游客设计小船行驶的方位角
当角
的余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达
.

19.（本小题满分16分）

已知二次函数
（其中
其中导函数
的图象如图，设

求函数
在
处的切线斜率；

若函数
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围；

若函数
的图象总在函数
图象的上方，求
的取值范围.

20. （本小题满分16分）

设等比数列
的首项为
公比为
为正整数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足

求数列
的通项公式；

试确定
的值，使得数列
为等差数列；

当
为等差数列时，对每个正整数
在
与
之间插入
个2，得到一个新

数列
.设
是数列
的前
项和，试求满足
的所有正整数

2014～2015学年度第一学期期中考试

高三数学试题参考答案与评分标准

1．
2.
　　3．
　4．0　　5．-3　　6．-1　　7．5　　

8．
　9．
10．
　 11．
　　12．
　　

１3．
１4．

15．解:（1）由条件，得
．

． ………………………3分

化简，得
．

．……………………………………………………………6分

又
，
． ………………………………………7分

（2）因为
，

．

化简，得
．……………………………………11分

又
，

．又

．………………………………………………………14分

１7．解：（1）由条件，
，-

若直角
中，
，则
，即
，

；-----------------------------------------------------------------------------------------2分

若直角
中，
，则
，即
，
；

若直角
中，
，则
，即
，无解，

所以，满足条件的
的值为
或
． -----------------------8分

（2）若四边形
是平行四边形，则
，设D的坐标为

即
，
． 即

，

所以当
时，
的最小值为
，--------------------------14分

18．解：(Ⅰ) 如图，作
,
为垂足．

，
，

在
△
中，

(km),

=
(km)．

在
△
中，

(km) ．………………………3分

设游船从P到Q所用时间为
h，游客甲从
经
到
所用时间为
h，小船的速度为
km/h，则
(h),
（h）． …………5分

由已知得：
，
，∴
．………………………7分

∴小船的速度为
km/h时，游客甲才能和游船同时到达
．

(Ⅱ)在
△
中，

(km),
(km)．

∴
(km)． ………………………9分

∴
＝
．…………………11分

∵
, …………………13分

∴令
得：
．

当
时，
；当
时，
．

∵
在
上是减函数，

∴当方位角
满足
时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达
．…16分

19．解：⑴
2分

，所以函数
处的切线斜率为-1　 4分

⑵

（0，1）

1

（1，3）

3







+

0

－

0

+





↗



↘



↗




的单调递增区间为（0，1）和

的单调递减区间为（1，3）　　　 7分

要使函数
在区间
上是单调函数，

则
，解得
　　　 9分

⑶ 由题意，
恒成立，

得
恒成立，

即

恒成立，

设
13分

因为

当

的最小值为
的较小者．

　　　 15分

又已知
，

． 16分

20．【解析】（Ⅰ）因为
,所以
，

解得
（舍），则
-------------????? 3分

又
，所以
----------------------------5分

（Ⅱ）由
，得
，

所以
,则由
，得
????------------????? 8分

而当