成都实验外国语高2015届（高三）11月考数学文科题

成都实验外国语学校 赵光明

第I卷（选择题，50分）

一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）

1. 若集合
，
，则
=D

A．
B．
C．
D．

2．下列结论正确的是C

A．若向量
，则存在唯一的实数
使得
；

B．已知向量
为非零向量，则“
的夹角为钝角”的充要条件是“
”；

C．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

D．若命题
，则

3.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是
,则C

A．
　 B．
　

C．
D．

4．等差数列
的前n项和为
，若
为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ C ）

A．
B．
C．
D．

5、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、

俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接

球的表面积为A

A.
B.
C.
D.

6下列曲线中焦点坐标为
的是( A )

A．
B．
C．
D．

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的 θ角的取值范围是
D

A.
B.
C.
D.

8．如图所示，在
中，
，
在线段
（不在端点处）上，设
，
，
，则
的最小值为D

?? ? B. 9
???

C. 9??? D.

9．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y＝f(x)－x－不同零点的个数为(B)

A．2 B．3 C．4 D．5

10.对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数
，则
C

A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（5分每题，共计25分）

11．设复数
，其中
，则
______．-2/5

12．直线
的位置关系为 相交或相切

13．已知二次函数
，若
是偶函数，则实数
的值为------2

14、动点
在不等式组
表示的平面区域内部及其边界上运动，则
的取值范围是 .

15. 若数列
满足：存在正整数
，对于任意正整数
都有
成立，则称数列
为周期数列，周期为
. 已知数列
满足
，
现给出以下命题： ①若
，则
可以取3个不同的值 ②若
，则数列
是周期为
的数列

③
且
，存在
，
是周期为
的数列

④
且
，数列
是周期数列。其中所有真命题的序号是 （1）（2）（3） .

三．解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（本小题12分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
取得最大值和最小值时
的值；

（Ⅱ）设锐角
的内角A、B、C的对应边分别是
，且
，若向量
与向量
平行，求
的值。

解：（1）

………………………..3分

，
……..4分

所以当
，
取得最大值；

当
，
取得最小值；………..6分

（2）因为向量
与向量
平行，

所以
，
…………….8分

由余弦定理
，

，又
，经检验符合三角形要求………..12分

（本小题12分）

在数列
中，
，

（1）求数列
的通项
；

（2）若存在
，使得
成立，求实数
的最小值.

解：（1）
……………… 6分

（2）
由（1）可知当
时，

设
……………… 8分

则
又
及
，所以所求实数
的最小值为
---------------12分

18．（本小题12分）

某校高三年级文科学生600
名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：

分组

频数

频率



[45，60）

2

0．04



[60，75）

4

0．08



[75，90）

8

0．16



[90，105）

11

0．22



[105，120）

15

0．30



[120，135）

a

b



[135，150]

4

0．08



合计[来源:学科网]

50

1





（1）写出a、b的值；

（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；

（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135
，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．[来源:学科网ZXXK]

18．（1）6、0.12 ………2分

（2）成绩在120分以上的有6+4=10人，

所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：
人. ……6分

（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．

法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．

其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为
. ………12分

（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为
）

19（本小题12分）.如图，在边长为a的正
方体

中，M、N、P、Q分别为AD、CD、
、
的中点．

（1）求点P到平面MNQ的距离；

（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

19．解：方法1（几何法）：∵
平面
，

∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设
．∵平面MNQ
平面ABCD，∴由
得
平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为
．---------6分

（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得
，

∴
．
．由
得

，∴
．设直线PN与平面MPQ所成的角为
，则
．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为
．---------12分

方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）
是平面MNQ的一个法向量．

∵
，∴点P
到平面MNQ的距离
．

（2）设平面MPQ的一个法向量为
．
．

由
得
得

∴
．
．

．设直线PN与平面MPQ所成的角为
，则

．

20．(本小题13分)

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点Q（2，
）在椭圆上。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且
，求△OAB的面积的取值范围。

（3）过M（
）的直线
:
与过N（
）的直线
:

的交点P（
）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求


的值。

20解:（1）因为椭圆E:
（a>b>0）过M（2，
） ，2b=4

故可求得b=2,a=2
椭圆E的方程为
--------3分

（2）设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为
，

解方程组
得
,即
,

则△=
,

即
（）

,
要使
,需使
,即
,

所以
, 即
①

将它代入（）式可得

P到L的距离为

又

将
及韦达定理代入可得

当
时

由
故

当
时,

当AB的斜率不存在时,
,综上S
------------8分

（3）点P（
）在直线
:
和
：
上，

，

故点M（
）N（
）在直线
上

故直线MN的方程，
上

设G，H分别是直线MN与椭圆准线，
的交点

由
和
得G（-4，
）

由
和
得H（4，
）

故


=-16+

又P（
）在椭圆E：

有
故

=-16+
=-8------------13分

21.（本小题14分）

已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．

（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．

解：（1）
．………………………

由于
，故当
时，
，所以
，

故函数
在
上单调递增．……………………………………………4分

（2）当
时，因为
，且
在R上单调递增，

故
有唯一解
．

所以
的变化情况如下表所示：

x



0







－

0

＋





递减

极小值

递增



 又函数
有三个零点，所以方程
有三个根，

而
，所以
，解得
．………………10分

（3）因为存在
，使得
，

所以当
时，
．

由（2）知，
在
上递减，在
上递增，

所以当
时，
．

而
，

记
，因为
（当
时取等号），

所以
在
上单调递增．

而
，故当
时，
；当
时，
．即当
时，
；

当
时，
．

①当
时，由
；

②当
时，由
．

综上可知，所求
的取值范围为
． ---------14分