2015届广东六校联盟第一次联考试题

数学（理科）

（满分150分） 考试时间：120分钟

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　)

A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]

2．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则 ＋i·＝(　　)

A．－2 B．－2i C．2 D．2i

3. 已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. -2

4. 若双曲线
的离心率是
，则实数
的值是　　( )

A.
B.
C.

D.

5. 已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
( )

A.
B.
C.6 D.8

6. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：

月份

1

2

3

4

5



广告投入（x万元）

9.5

9.3

9.1

8.9

9.7



利润（y万元）

92

89

89

87

93



由此所得回归方程为
，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）

A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元

7．如图：正方体
的棱长为
，
分别是棱
的

中点，点
是
的动点，
，过点
、直线
的平面将正方体分

成上下两部分，记下面那部分的体积为
，则函数
的大致图像是（ ）

8．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f(a)＝b”；

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)?B；

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B；

⑤若函数f(x)

，则
.

其中的真命题有（ ）

A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．①③④

二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

(一)必做题(9～13题)

9. 若不等式
，对任意的
恒成立，则实数a的取值范围是_ _.

10. 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为___．

11. 已知数组（
）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i使
，则所有不同的数组中的各数字之和为________.

12. 在△ABC中，a，b,c分别是角A,B,C的对边，且
若
，
，

则a的值为 .

13. 实数项等比数列
的前
项的和为
，若
， 则公比
等于________-

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：
，直线的极坐标方程为：
.则它们相交所得弦长等于 .

15. （几何证明选讲选做题） 已知圆
的半径为
，从圆
外一点
引

切线
和割线
，圆心
到
的距离为
，
，则切线

的长为____________.

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝cos x·sin
－cos2x＋
，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在闭区间
上的最大值和最小值．

17. （本小题满分12分）

广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4个小组进行综合素质过关测试， 设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的．

(1)求测试中至少3个小组过关的概率；

(2)X表示测试中能够过关的组数，求X的数学期望．

18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥
中，
面
,
，

且
，
为
的中点，
在
上，且
.

（1）求证：
；

（2）求平面
与平面
的夹角的余弦值.

19. （本小题满分14分）已知数列
中，
，前
项的和是
满足：
都有：
，其中数列
是公差为1的等差数列；

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
.

20．（本小题满分14分）已知椭圆
的离心率为
， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点．试问直线
、
的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

定义在R上的函数
及二次函数
满足：

且
.

（I）求
和
的解析式；

（II）
；

（III）设
，讨论方程
的解的个数情况．

参考答案

1.　B 2．C　 3. D 4. D 5. D 6. A 7．C 8．D

8提示：若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．

取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．

当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0?[－M，M]，故③正确．

对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．

若f(x)
值域是R,则
的值要取遍所有的正实数，从而
故⑤错误

9.
10. 1 11. 675 12. 1或3 13.
14. 3 . 15.

16．(1)由已知，有f(x)＝cos x·－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x

＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π

(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，

所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－

17. (1)所求概率为P=0.6×0.52×(1－0.4)+2×0.6×0.52×0.4+(1－0.6)×0.52×0.4+0.6×0.52×0.4=0.09+0.12+0.04+0.06=0.31

(2)X可能取值为0,1,2,3,4,则P(X＝0)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋2×(1－0.6)×0.52×(1－0.4)

＋(1－0.6)×0.52×0.4＝0.25，P(X＝4)＝0.6×0.52×0.4＝0.06， 由(1)知P(X≥3)= P(X＝3)+ P(X＝4)=0.31，

则P(X＝3)＝0.31－0.06＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，

所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2

18．（1）不妨设
=1，又
，∴在△ABC中，
，

∴
，则
=
，所以
,又
,∴
,

也为等腰三角形. 【另：由
，则
，在△NBA中，

AN2=1+
，∴
，
也为等腰三角形】

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴
，
，∵
面
，

∴
，∴
， 所以AB⊥平面MNQ，又MN
平面MNQ，∴AB⊥MN

（法二）
，则
,以A为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系可得
，
，
,
,

∴
,
则
，所以
．

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，可知
，
，平面
的法向量

可取为
， 设平面
的法向量为
，

，
，则
，即
，即
，令
，

得
，∴
， 故平面
与平面
的夹角的余弦值
．

【另：过B作BD//AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F， 连ME，EF，MF，

由
面PAD，BD//AC//ME，PA
AN，EF//PA，则ME
面PAD，EF
AN，

且MF
AN，∴
是所求两面角的平面角.

，
，

∴
】

19.

都有：
，令
得：

从而
，又因为数列
是公差为1，所以，

得：
，当
时，
，

检验：
时，
不满足题设；故通项公式是：

（Ⅱ）当
时,
，当
时,
，所以

，
符合，故
.

20．（1）

，故

（2）设
，依题意，可设直线
.

将其与椭圆方程联立，消去
得：

由
三点共线可知，
，
，

同理可得
，
，

而
，

所以
，故直线
、
的斜率为定值
.

21． (Ⅰ)
,①，
即
②

由①②联立解得:
.
是二次函数, 且
，即
的两根为-2和0

可设
，由
，解得
.
，

，
.

(Ⅱ)设
，
，依题意知，

当
时，
，
，
，

在
上单调递减，
，
在
上单调递增,
，

的最小值一定在区间端点取得(开口向下)，
解得
，
实数
的取值范围为
.

(Ⅲ)依题意，
当
时,由
，

当